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[[Image:Order 2 affine plane.svg|thumb|200px|right|2阶有限仿射平面，包含4个点和6条线。相同颜色的线是“平行”的。]]
{{General geometry}}
在[[數學]]中，'''有限幾何'''是滿足某些幾何學公理，但僅含有限個[[點]]的幾何系統。歐氏幾何並非有限，因為它必包含一條歐氏直線，其上的點一一對應於[[實數]]。

有限幾何系統可以依[[維度]]分類，為簡單起見，以下僅介紹低維度的情形。

==有限平面==
有限平面幾何可以分為'''仿射'''與'''射影'''兩類。在[[仿射空間]]中可以探討[[直線|線]]的[[平行]]性，[[射影空間]]則否。

'''定義'''. ''仿射平面''是一個非空集 <math>X</math>（其成員稱為''點''）及一族 <math>X</math> 的子集 <math>L</math>（其成員稱為''線''），使之滿足下述條件：
# 任兩點包含於唯一的一條線。
# [[平行公設]]：給定線 <math>\ell</math> 及點 <math>p \notin \ell</math>，存在唯一的線 <math>\ell'</math> 使之包含 <math>p</math> 且 <math>\ell \cap \ell' = \emptyset</math>。
# 存在四個點，其中任三點不共線。

最後一條公設保證幾何非空，前兩條公設確定了幾何的性質。

最簡單的仿射平面由四點構成，其中任兩點決定唯一一條線，所以此平面有六條線。這可以設想為[[四面體]]的頂點與邊。

一般而言，<math>n</math>階仿射平面有 <math>n^2</math> 個點與 <math>n^2+n</math> 條線；每條線含 <math>n</math> 點，每點落於 <math>n+1</math> 條線。

'''定義'''. ''射影平面''是一個非空集 <math>X</math>（其成員稱為''點''）及一族 <math>X</math> 的子集 <math>L</math>（其成員稱為''線''），使之滿足下述條件：
# 任兩點包含於唯一的一條線。
# 任兩條相異的線交於唯一一點。
# 存在四個點，其中任三點不共線。

[[File:fano plane.svg|thumb|240px|right|Fano 平面的圖解]]
在上述公理中，我們可以交換點及線的角色，這蘊含了射影幾何的'''對偶性'''：若射影幾何的某命題成立，則將命題中的點與線互換後，新命題依然成立。

最簡單的射影平面稱作 Fano 平面，又稱二階射影平面，由七條線及七個點構成。若除去任一直線（及其上之點），將得到二階仿射平面。

一般而言，<math>n</math> 階射影平面的點、線個數均為 <math>n^2+n+1</math>，每條線含 <math>n+1</math> 個點，每個點落於 <math>n+1</math> 條線。

對任意正整數 <math>n</math>，<math>n</math> 階射影或仿射平面的存在性至今未解。一般的猜想是這種幾何存在當且僅當 <math>n</math> 是[[素數]]冪。

==有限幾何的對稱群==
若一映射 <math>f: X \to X</math> 保存共線關係，則稱之為 <math>X</math> 的''對稱''（或''自同構''）。Fano 平面的對稱群同構於 <math>\mathrm{PSL}(2, \mathbb{F}_7) </math>，有 <math>168</math> 個元素。

==外部連結==
* {{en}}[http://cage.ugent.be/geometry/links.php 有限幾何資源] {{Wayback|url=http://cage.ugent.be/geometry/links.php |date=20110927095400 }}
* {{en}}Chris Godsil, [https://web.archive.org/web/20090319195200/http://quoll.uwaterloo.ca/pstuff/fgeom.pdf Finite Geometry]，2004. 可自由下載。

{{数学主要领域}}

[[Category:組合數學]]
[[Category:离散几何]]