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{{unreferenced|time=2008-12-13}}

[[File:Bounded unbounded.svg|right|thumb|（顶上的）有界集合和（底下的）无界集合的示意图。底下的这个集合一直向右延续。]]
在[[数学分析]]和有关的[[数学]]领域中，如果一个[[集合 (數學)|集合]]在某種意义上有有限大小，则称为'''有界'''。反过来说，不是有界的集合就叫做'''无界'''。

== 定义 ==

如果存在一个实数 <math>k</math>，使得对于所有 <math>S</math> 中的 <math>s</math> 有 <math>k\geq s</math>，[[实数]]集合 ''<math>S</math>'' 被稱為“上有界”的，这个数 <math>k</math> 被称为 ''<math>S</math>'' 的'''上界'''。可用类似的定义术语“下有界”和'''下界'''。

如果集合 ''<math>S</math>'' 有上界和下界二者，則它是'''有界'''的。所以，如果一個实数集合包含在[[区间|有限区间]]内，則它是有界的。

== 度量空间 ==

[[度量空间]] <math>(M, d)</math> 的[[子集]] ''<math>S</math>'' 是'''有界'''的，如果它包含在有限半径的[[球 (数学)|球]]内，就是说如果对于所有 ''<math>S</math>'' 中的 ''<math>s</math>''，存在 <math>M</math> 中的 <math>x</math> 并且 <math>r > 0</math>，使得 <math>d(x, s) < r</math>。<math>M</math> 是有界度量空间（或 <math>d</math> 是有界度量），如果 ''<math>M</math>'' 作为自身的子集是有界的。

*[[完全有界空间|完全有界性]]蕴涵有界性。对于 <math>\mathbb{R}^n</math> 的子集下列二者是等价的。
*度量空间是[[紧致空间|紧致]]的，[[当且仅当]]它是[[完备度量空间|完备]]的并且是完全有界的。
*[[欧几里得空间]] <math>\mathbb{R}^n</math> 的子集是紧致的，当且仅当它是[[闭集]]并且是有界的。

== 拓扑向量空间内的有界性 == 

在[[拓扑向量空间]]中，存在一個有界集合的不同定义，通常叫做[[冯·诺伊曼有界性]]。如果拓扑向量空间的拓扑是由[[度量|均匀度量]]所誘導，如度量是由[[赋范向量空间]]的[[范数]]所誘導的情况，则这两个定义是一致的。

==序理论中的有界性==

一個实数集合是有界的，当且仅当它有上界和下界。这个定义可扩展到任何[[偏序集合]]的子集。注意这个更一般的有界性概念不对应于“大小”的概念。

對於偏序集合 <math>P</math> 的子集 ''<math>S</math>''，如果 ''<math>S</math>'' 中的所有元素 ''<math>s</math>''，都小於 ''<math>P</math>'' 中的某個元素 <math>k</math>，也就是對於所有<math>s\in S</math>，<math>s \leq k</math>，其中<math>k\in P</math> ，則稱''S''為'''上有界'''的(bounded above)，而元素 ''<math>k</math>'' 稱為 ''<math>S</math>'' 的'''上界'''。同理可定义'''下有界'''和'''下界'''。（参见[[上界和下界]]。）

偏序集合 ''<math>P</math>'' 的子集 ''<math>S</math>'' 叫做'''有界'''的，如果它有上界和下界二者，或等价的说，它被包含在一个[[区间]]内。注意这不是集合 ''<math>S</math>'' 自己的一个性质，而是集合 ''<math>S</math>'' 作为 ''<math>P</math>'' 的子集的性质。

'''有界偏序集合''' ''<math>P</math>''（就是说自身就是有界而不是作为子集）是有[[最小元素]]和[[最大元素]]的偏序集合。注意这个有界性的概念与有限大小无关，有界偏序集合 ''<math>P</math>'' 的子集 ''<math>S</math>'' 在 ''<math>P</math>'' 的次序（的限制）下也不必然是有界偏序集合。

<math>\mathbb{R}^n</math> 的子集 ''<math>S</math>'' 是关于[[欧几里得距离]]有界的，当且仅当它在{{tsl|en|Product order|乘积序}}下作為 <math>\mathbb{R}^n</math> 的子集是有界的。但是，''<math>S</math>'' 可以是在[[字典序]]下有界，而不关于[[欧几里得距离]]有界。

[[序数]]的类被称为是无界的，或[[共尾]]的，在给定任何序数的时候，总是有这个类的某个成员大于它。所以在这种情况下，“无界”不意味着自身是无界的而是作为序数类的子类是无界的。

== 参见 ==

*[[完全有界空间]]
*[[局部有界性]]
*[[有界函数]]
{{泛函分析}}
[[Category:数学分析|Y]]
[[Category:序理论|Y]]