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{{NoteTA |G1=Math}}
'''有界變差'''（{{lang-en|Bounded variation}}）是函數的一個性質，它指的是[[總變差]]為有限的[[函數]]。

有界變差的理論對[[黎曼－斯蒂尔杰斯积分]]有相當的用處。

==定義==
設 <math>\Delta f(x_i) = f(x_i) - f(x_{i-1})</math>，若一個定義於[[實數]]區間 <math>[a,b]</math> 上的函數<math>f</math> 是'''有界變差'''函數，則存在一正數 <math>M</math>，對任意在區間 <math>[a,b]</math>上的（有限）分割<math>P = \{a=x_0, x_1, ....., x_n=b \}</math> 而言，有 <math>\sum_{i=1}^n |\Delta f(x_i)| \le M</math>。

另一個等價的定義為：定義一個跟函數 <math>f:[a,b]\mapsto \R</math> 相關的量如下：
:<math> V_a^b(f)=\sup_{}\left\{\; \sum_{i=0}^{n_{P}-1} | f(x_{i+1})-f(x_i) |
\,:\, P \in \mathcal{P} \right\}, \;</math>
這裡的符號 <math>\mathcal{P}</math> 代表在閉區間 [''a'', ''b''] 上所有的（有限）分割。

:<math>f</math>為有界變差函數若且唯若 <math> V_a^b(f) < \infty </math>。

其定義可推廣至[[复数 (数学)|複數域]]乃至於任何的[[歐幾里德空間]]上。


==性質==
*任意[[單調函數]]都是有界變差的。
*设<math>f</math>在區間<math>[a,b]</math>上滿足[[利普希茨连续|Lipschitz條件]]，即存在常數<math>K>0</math>，使得對於任意<math>x', x''</math>，有<math>|f(x')-f(x'')|\le K|x'-x''|</math>，則<math>f</math>在<math>[a,b]</math>上是有界變差的。
*若<math>f</math>在區間<math>[a,b]</math>上連續，且在區間的[[內部]]<math>(a,b)</math>可微，若對於任意在<math>f</math>定義域<math>[a,b]</math>的內部<math>(a,b)</math>的點<math>x</math>而言，存在一正實數<math>A</math>使得<math>|f'(x)| \le A</math>，則<math>f</math>在<math>[a,b]</math>上是有界變差的。
*若<math>f</math>在區間<math>[a,b]</math>上是有界變差的，則<math>f</math>在該區間上亦是有界的。
*若<math>f</math>在區間<math>[a,b]</math>上是有界變差的，則其不連續點的數量是可數的。

==參見==
*[[總變差]]

==參照==
*T. M. Apostol, Mathematical Analysis, second edition.
*http://eom.springer.de/V/v096110.htm {{Wayback|url=http://eom.springer.de/V/v096110.htm |date=20111015012310 }}

[[Category:數學分析]]