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[[File:Bounded and unbounded functions.svg|right|thumb|有界函数（红色）和无界函数（蓝色）的示意图。可以看到，有界函数的图形保持在（虚线）水平带内，而无界函数的图形不保持在水平带内。]]
在[[数学]]中，如果在某个[[集合 (数学)|集合]]<math>X</math>上定义的具有[[实数]]或[[复数 (数学)|复数]]值的某个[[函数]]<math>f</math>的[[值域]]是[[有界集合]]，则函数''<math>f</math>''被称为'''有界的'''（或'''有界函数'''）。换句话说，存在实数<math>M>0</math>，使得对于集合''<math>X</math>''中的所有<math>x</math>，都有<math>|f(x)|\le M</math>。有时，如果对于集合''<math>X</math>''中的所有''<math>x</math>''，都有<math>f(x)\le A</math>，则函数''<math>f</math>''称为'''上有界的'''，<math>A</math>就是它的一个上界；如果对于集合''<math>X</math>''中的所有''<math>x</math>''，都有<math>f(x)\ge B</math>，则函数称为'''下有界的'''，<math>B</math>就是它的一个下界。

一个特例是'''有界数列'''，其中''<math>X</math>''是所有[[自然数]]所组成的集合<math>\mathbb{N}</math>。所以，一个[[数列]]<math>f=(a_0,a_1,a_2,\ldots)</math>
是有界的，如果存在一个数<math>M>0</math>，使得对于所有的自然数<math>n</math>，都有<math>\left \vert a_n \right \vert \leq M</math>。

==例子== 
*由<math>f(x)=\sin x</math>所定义的函数<math>f:R\rightarrow R</math>是有界的。如果[[正弦]]函数是定义在所有复数的集合上，则不再是有界的。 
*函数<math>f(x)=\frac{1}{x^2-1}</math>（<math>x</math>不等于&minus;1或1）是无界的。当''<math>x</math>''越来越接近&minus;1或1时，函数的值就变得越来越大。但是，如果把函数的定义域[[限制 (數學)|限制]]为<math>[2, \infty)</math>，则函数就是有界的。

*函数<math>f(x)=\frac{1}{x^2+1}</math>是有界的。

*任何一个[[连续函数]]<math>f:[0,1] \rightarrow R</math>都是有界的。 
*[[狄利克雷函数]]：当<math>x</math>是[[有理数]]时，函数的值是0，而当<math>x</math>是[[无理数]]时，函数的值是1。这个函数是有界的。有界函数并不一定是连续的。

== 参见 ==
* [[有界集合]]
* [[支撑集]]
* [[一致有界]]

[[Category:实分析]]
[[Category:复分析]]
[[Category:各类函数]]