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在[[代數幾何]]中，'''有理映射'''是定義在[[概形]]的稠密開集上的態射。有理映射及由此引生的'''雙有理等價'''是古典代數幾何學的主要對象。

==定義==
固定概形 <math>V, W</math>。考慮所有的資料 <math>(U,f)</math>，其中 <math>U \subset V</math> 是稠密開集，而 <math>f: U \to W</math> 是態射；這些資料代表了 <math>U</math> 上「部份定義」的態射，<math>U</math> 代表 <math>f</math> 的定義域。定義下述等價關係：
: <math>(U,f) \sim (U', g) \iff f|_{U \cap U'} = g|_{U \cap U'}</math>

此外，注意到稠密性保證 <math>U \cap U'</math> 也是 <math>V</math> 中的稠密開集。當 <math>V</math> 不可約，則所有非空開集都是稠密的。若再假設 <math>V</math> 既約而 <math>W</math> 是[[分離概形]]，則任一等價類有唯一一個定義域最大的代表元。

從概形 <math>V</math> 到 <math>W</math> 的'''有理映射''' <math>f</math> 是其中的一個等價類 <math>[U,f]</math>。

若 <math>f</math> 是從 <math>U</math> 到 <math>V</math>，<math>g</math> 是從 <math>V</math> 到 <math>W</math> 的有理映射，則一般並不能定義其合成 <math>g \circ f</math>。但是當 <math>f</math> 的像（對某個，因而對每個代表元 <math>(U_0, f_{U_0})</math>）在 <math>V</math> 中稠密時，對每個 <math>g</math> 的代表元 <math>(V_0, g_{V_0})</math>，<math>f_{U_0}(U_0) \cap V_0</math> 皆非空，此時可以定義 <math>g \circ f := [f_{U_0}^{-1}(V_0), g_{V_0} \circ f_{U_0}]</math>。

同理，若 <math>V</math> 與 <math>W</math> 都是 <math>S</math> 上的概形，也可以類似地定義 <math>S</math>-有理映射。

==例子==
設 <math>k</math> 為[[整環]]，設 <math>V := \mathbb{A}^n_k</math>、<math>W := \mathbb{A}^m_k</math>，則從 <math>V</math> 到 <math>W</math> 的任何有理映射 <math>f</math> 有唯一的表法：
: <math>f = \left(\dfrac{f_1(x_1, \ldots, x_n)}{g_1(x_1, \ldots, x_n)}, \ldots, \dfrac{f_m(x_1, \ldots, x_n)}{g_m(x_1, \ldots, x_n)}\right)</math>

其中 <math>f_i, g_i</math> 是多項式。該有理映射可以在 <math>\mathbb{A}^n_k \setminus \bigcup_i \{g_i = 0 \}</math> 上定義。

此外，對於不可約 <math>k</math>-概形 <math>X</math>，其上的有理函數一一對應到從 <math>X</math> 到 <math>\mathbb{P}^1_k</math> 的有理映射。

==優勢映射與雙有理等價==
之前考慮合成問題時，曾利用像的稠密性條件；滿足該條件的有理映射稱為'''優勢映射'''。由於優勢映射可以作合成，定義從概形 <math>V</math> 到 <math>W</math> 的'''雙有理等價'''為一個優勢映射 <math>f</math>，使得存在另一個從 <math>W</math> 到 <math>V</math> 的優勢映射 <math>g</math>，使 <math>f \circ g = \mathrm{id}_W</math>、<math>g \circ f = \mathrm{id}_V</math>。

以下考慮[[体 (数学)|域]] <math>k</math> 上的不可約[[代數簇]]及其間的 <math>k</math>-有理映射。有理映射的地位在於：透過有理函數的「拉回」運算，代數簇之間的優勢映射對應到[[函數域]]之間的映射，而雙有理等價對應到函數域的同構。由此可知代數簇的雙有理等價範疇等價於函數域的反範疇。

==雙有理等價的例子==
雙有理等價的定義較同構寬，因為我們容許態射在某維度較低的閉集上未定義。一個例子是 <math>\mathbb{P}^2_k</math> 與 <math>X: xy-wz =0 \subset \mathbb{P}^3_k</math>，兩者雙有理等價，而並不同構。原因如下：<math>\mathbb{P}^2_k</math> 中的任兩條閉曲線都有交點，而在 <math>X</math> 中，<math>w=x=0</math> 與 <math>y=z=0</math> 不相交，因而 <math>X</math> 與 <math>\mathbb{P}^2_k</math> 並不同構。

另一方面，<math>X</math> 的[[函數域]]可以在仿射開集 <math>w \neq 0</math> 上計算，此開集的座標環是 <math>k[x,y,z]/(xy-z) \simeq k[x,y]</math>，其函數域是 <math>k(x,y)</math>；這也是 <math>\mathbb{P}^2_k</math> 的函數域，於是二者雙有理等價。若細審上述論證，事實上能寫出所求雙有理等價的式子。

==參見==
* [[雙有理幾何]]

==文獻==
*{{cite book
 | last = Grothendieck
 | first = Alexandre
 | coauthors = Jean Dieudonné
 | year = 1971
 | title = Éléments de géométrie algébrique
 | edition = 2nd edition
 | publisher = Springer-Verlag
 | location = Berlin; New York
 | language = fr
 | id = ISBN 978-3-540-05113-8
}}
*{{cite book
 | last = Hartshorne
 | first = Robin
 | year = 1977
 | title = Algebraic Geoemtry
 | publisher = Springer-Verlag
 | location = Berlin; New York
 | language = en
 | id = ISBN 978-0-387-90244-9
}}

[[Category:代數幾何|Y]]