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{{各種函數}}

'''有理函數'''（{{lang-en|Rational function}}）是可以表示為以下形式的[[函數]]：

: <math>f(x)=\frac{a_m x^m+a_{m-1} x^{m-1}+\cdots +a_1x+a_0}{b_n x^n+b_{n-1} x^{n-1}+\cdots +b_1x+b_0}  = \frac{P_m(x)}{Q_n(x)} \quad ; \quad m, n \in \mathbb{N}_0</math>，<math>b_i</math>不全為0。

'''[[有理数|有理數]]式'''是多項式除法的商，有時稱為'''代數分數'''。

== 漸近線 ==
{{main|渐近线}}
* [[不失一般性]]可假設分子、分母[[互質]]。若存在<math>r>0</math>，使得<math>(px+q)^r</math>是分母<math>Q(x)</math>的因子，則有理函數存在垂直[[漸近線]]<math>x=-q/p</math>。
* 若<math>m<n</math>，有水平漸近線<math>y=0</math>。
* 若<math>m=n</math>，有水平漸近線<math>y=\frac{a_m}{b_m}</math>。
* 若<math>m=n+1</math>，有斜漸近線<math>y=\frac{a_m}{b_n} x + \frac{b_n*a_{m-1} - b_{n-1}*a_m}{{b_n}^2}</math>。

只有一条水平渐近线

== 泰勒級數 ==
有理函數的[[泰勒級數]]的係數滿足一個[[線性遞歸關係]]。反之，若一個泰勒級數的係數滿足一個線性遞歸關係，它對應的函數是有理函數。

== 部分分式 ==
'''[[部分分式]]'''，又稱'''部分分數'''、'''分項分式'''，是將有理數式分拆成數個有理數式的技巧。

有理數式可分為真分式、假分式和帶分式，這和一般[[分數]]中的真分數、假分數和帶分數的概念相近。真分式分子的次數少於分母的。

若有理數式<math>\frac{P(x)}{Q(x)}</math>的分母<math>Q(x)</math>可分解為數個多項式的積，其部分分數便是<math>\sum\frac{A_n}{Q(x)/h_n(x)}</math>，其中<math>h_n(x)</math>是<math>Q(x)</math>的因子，<math>A_n</math>是次數不大於Q(x)/h_n(x)的多項式。
=== 例子 ===
# 分拆<math>\frac{x^3 - 5x +88}{x^2 + 3x - 28}</math>

分子的次數是3，分母的是2，所以先將它轉成真分式和多項式的和（即帶分式）：

<math>x-3 + \frac{32 x+4}{x^2 + 3x - 28}</math>

因為<math>x^2 + 3x - 28 = (x+7)(x-4)</math>，所以

<math>\frac{32 x+4}{x^2 + 3x - 28} = \frac{A}{x+7} + \frac{B}{x-4}</math>

其中A和B是常数。两边乘以<math>x^2 + 3x - 28</math>，得

<math>\ 32x + 4 = A(x-4) + B(x+7)</math>

即

<math>\ 32x + 4 = (A+B)x + (7B-4A)</math>

比較[[系数|係數]]，得

<math>\ A + B = 32</math>

<math>\ 7B - 4A = 4</math>

解得<math>A=20, B=12</math>。

故：
<math>\frac{x^3 - 5x +88}{x^2 + 3x - 28} = x + \frac{20}{x+7} + \frac{12}{x-4} - 3</math>

也可以把x的特殊值代入等式来解出A和B。例如，当x=4时，我们有

<math>\ 128 + 4 = 11B</math>

<math>\ B = 12</math>

当x=-7时，我们有

<math>\ -224 + 4 = -11A</math>

<math>\ A = 20</math>

=== 應用 ===
* [[伸縮和]]
* [[複分析]]
* [[拉普拉斯變換]]

== 積分 ==

=== 部分分數 ===
{{main|部分分式積分法}}
在計算有理數式的積分時，部分分數的方法很有用，因為分母的1和2次多項式的有理數式的積分都有固定的方法計算。

* 分母為1次多項式：求<math>\int \frac{1}{ax+b} dx</math>。

設<math>u=ax+b</math>：
: <math>\frac{du}{dx} = a</math>
: <math>\frac{du}{a} = dx</math>

原式變為

: <math>\int \frac{1}{u} \frac{du}{a} = \frac{1}{a} \int \frac{1}{u} {du} = \frac{\ln\left|u\right|}{a} + C = \frac{\ln\left|ax+b\right|}{a} + C</math>

* 分母次數為2：求<math>\int \frac{dx+e}{ax^2+bx+c} dx</math>。
若多項式<math>ax^2+bx+c</math>可分解為兩個一次多項式的積（即<math>b^2-4ac \ge 0</math>），則可用部分分數的方法解決。若多項式不可分解，則將它配方，再用各種替代法解決。

例如：
:<math>\int {x+6 \over x^2-8x+25}\,dx.</math>

因為
:<math>x^2-8x+25=(x^2-8x+16)+9=(x-4)^2+9\,</math>

考慮
:<math>u=x^2-8x+25\,</math>
:<math>du=(2x-8)\,dx</math>
:<math>du/2=(x-4)\,dx</math>

將分子分解，以便應用上面的替換：

:<math>\int {x-4 \over x^2-8x+25}\,dx + \int {10 \over x^2 - 8x + 25} \, dx</math>

左邊：
:<math>\int {x-4 \over x^2-8x+25}\,dx = \int {du/2 \over u}
= {1 \over 2}\ln\left|u\right|+C
= {1 \over 2}\ln(x^2-8x+25)+C</math>

另一邊：

:<math>\int {10 \over x^2-8x+25} \, dx
= \int {10 \over (x-4)^2+9} \, dx
= \int {10/9 \over \left({x-4 \over 3}\right)^2+1}\,dx</math>

代入
:<math>w=(x-4)/3\,</math>
:<math>dw=dx/3\,</math>

:<math>{10 \over 3}\int {dw \over w^2+1}
= {10 \over 3} \arctan(w)+C={10 \over 3} \arctan\left({x-4 \over 3}\right)+C.</math>

另一種可行的代入方法是：
:<math>\tan\theta={x-4 \over 3},\,</math>

:<math>\left({x-4 \over 3}\right)^2+1=\tan^2\theta+1=\sec^2\theta,\,</math>

:<math>d\tan\theta=\sec^2\theta\,d\theta={dx \over 3}.\,</math>

<math>\int {10/9 \over \left({x-4 \over 3}\right)^2+1}\,dx = 10/9 \int \frac{1}{\sec^2 \theta} 3 \sec^2 \theta \, d\theta = {10 \over 3} \arctan\left({x-4 \over 3}\right)+C </math>

=== 奧斯特羅格拉茨基方法 ===

奧斯特羅格拉茨基方法（Ostrogradsky Algorithm / Ostrogradsky's Method）是這樣的：

設求積的有理函數為 <math>\frac{P}{Q}</math>，其中<math>P,Q</math>是多項式，<math>\deg(P)<\deg(Q)</math>（<math>P</math>的次數少於<math>Q</math>）。設<math>Q_1</math>為Q的導數Q'和Q的最大公因數，<math>Q_2 = \frac{Q}{Q_1}</math>。則有：

: <math>\int \frac{P}{Q} dx = \frac{P_1}{Q_1} + \int \frac{P_2}{Q_2} dx</math>

其中<math>P_1,P_2</math>為多項式，<math>\deg(P_i) < \deg(Q_i)</math>。

==== 應用例子 ====
* 求 <math>\int \frac{x dx}{(x-1)^2 (x+1)^3}</math> 。

# <math>Q = (x-1)^2 (x+1)^3</math>
# <math>Q' = 2(x-1)(x+1)^3 + 3(x-1)^2 (x+1)^2 = (x-1)(x+1)^2 ( 5x-1 )</math>
# <math>Q_1 = gcd(Q,Q') = (x-1)(x+1)^2</math>
# <math>Q_2 = Q/Q_1 = (x-1)(x+1)</math>

設 <math>P_1 = Ax^2 + Bx + C , \quad P_2 = Dx + E</math>

: <math>\int \frac{x dx}{(x-1)^2 (x+1)^3}  = \frac{Ax^2 + Bx + C}{(x-1)(x+1)^2} + \int \frac{Dx + E}{(x-1)(x+1)} dx</math>

兩邊取導數：

: <math>\frac{x}{(x-1)^2 (x+1)^3} = \frac{A x^3  + (2 B - A) x^2  + (3 C - B + 2 A) x - C + B}{ (x-1)^2 (x+1)^3 } + \frac{Dx + E}{(x-1)(x+1)}</math>

通分母，右邊的分子為：

: <math>D x^4 + (E + D - A) x^3  + (E - D - 2 B + A) x^2 + (- E - D - 3 C + B - 2 A) x - E + C - B </math>

比較分子的多項式的係數，得<math>A=B=E=-0.125, C=-0.25, D=0</math>。於是有
: <math>\int \frac{x dx}{(x-1)^2 (x+1)^3}  = \frac{x^2 + x + 2}{8(1-x)(x+1)^2} + \int \frac{dx}{8(x-1)(x+1)} </math>

後者可用部分分數的方法求得。

==== 證明 ====
: <math>\int \frac{P}{Q} dx = \frac{P_1}{Q_1} + \int \frac{P_2}{Q_2} dx</math>
: <math>\frac{P}{Q} = \frac{P'_1 - \frac{Q'_1 P_1}{Q_1} }{Q_1} + \frac{P_2}{Q_2} </math>
兩邊乘以<math>Q</math>
: <math>P = P'_1 Q_2 - \frac{Q'_1 Q_2 P_1}{Q_1} + P_2 Q_1</math>
由於 <math>Q'_1 Q_2 = Q' - Q_1 Q'_2</math>，而<math>Q'</math>和<math>Q_1 Q'_2</math>都是<math>Q_1</math>的倍數，所以<math>\frac{Q'_1 Q_2 P_1}{Q_1}</math>是多項式。

比較兩邊多項式的次數：
* <math>\deg(P) \le \deg(Q)-1</math>
* <math>\deg(P'_1 Q_2 \le (\deg(Q_1)-1) + (\deg(Q)-\deg(Q_1)) = \deg(Q)-1</math>
* <math>\deg(\frac{Q'_1 Q_2 P_1}{Q_1}) \le (\deg(Q_1)-1) + (\deg(Q)-\deg(Q_1)) + ( \deg(Q_1) - 1 ) - \deg(Q_1) = \deg(Q) - 2</math>
* <math>\deg(P_2 Q_1) \le (\deg(Q) - \deg(Q_1) - 1) + \deg(Q_1) = \deg(Q)-1</math>
因此<math>P_1, P_2</math>有解。

=== Hermite方法 ===

== 應用 ==
* [[帕德近似]]
* [[插值]]

== 參考 ==

* [http://mpec.sc.mahidol.ac.th/RADOK/physmath/mat12/sec41.htm Ostrogradsky's method] {{Wayback|url=http://mpec.sc.mahidol.ac.th/RADOK/physmath/mat12/sec41.htm |date=20200803053213 }}
* http://www.math.uncc.edu/~droyster/courses/fall01/classnotes/Lecture08.pdf {{Wayback|url=http://www.math.uncc.edu/~droyster/courses/fall01/classnotes/Lecture08.pdf |date=20060901075025 }}

[[Category:代数簇]]
[[Category:概形态射]]
[[Category:亚纯函数]]
[[Category:有理函数| ]]