查看“︁有序域”︁的源代码

{{Unreferenced|time=2021-04-16T19:09:08+00:00}}
{{NoteTA
|G1 = Math
|1 = zh-cn:域; zh-tw:體;
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在[[数学]]的一个分支[[代数]]中，'''有序域'''是一个[[全序关系]]通过[[加法]]和[[乘法]]运算不被改变的[[域 (數學)|域]]。有序域最常见的例子是[[实数]]。

==定义==
一个满足下面两个条件的、拥有全序关系<math>\leq</math>的域<math>(K,+,\cdot)</math>被定义为有序域：对于任何<math>K</math>中的元素<math>a, b, c</math>以下两个条件获得满足：
* 若<math>a \leq b</math>，则<math>a + c \leq b + c</math>。
* 若<math>0 \leq a</math>且<math>0 \leq b</math>，则<math>0 \leq a\cdot b</math>。

大于0的元素被称为是'''正的'''，小于0的元素被称为是'''负的'''。

==特性==
由以上定义可以直接推导出以下特性（<math>a, b, c, d</math>是<math>K</math>的元素）：
* 一个正的元素的负数是负的，一个负的元素的负数是正的：即任何<math>K</math>中的<math>a</math>，假如<math>a\neq 0</math>则<math>-a<0<a</math>或<math>a < 0 < -a</math>。
* 不等式可以相加：<math>a \le b</math>和<math>c \le d</math>则<math>a + c \le b + d</math>。
* 不等式可以与正元素相乘：<math>a \le b</math>和<math>0 \le c</math>则<math>ac \le bc</math>。
* 平方数不是负的：<math>0 \le a^2</math>，尤其<math>0 < 1</math>。
* 通过[[数学归纳法]]可以推导出任何一的有限的和是正的：<math>0 < 1 + 1 + \cdots + 1</math>。

==结构==
所有有序域都具有[[特征_(代数)|特征数]]0。这个结论直接出于上述的最后一个特性<math>0 < 1 + 1 + \cdots + 1</math>。

每个有序域的子域也是有序域。任何含特征数0的域其最小子域与[[有理数]]同構，且这个子域的排序与<math>\mathbb{Q}</math>一致。

假如一个有序域中的任何元素都介于两个有理数之间的话，则该域具有[[阿基米德性质]]。比如实数是具有阿基米德性质的，而[[超实数]]则不具有。

有序域<math>K</math>的排序可用來定義<math>K</math>的[[拓扑空间]]，这个拓扑空间可由<math>\{x \in K \mid x < a\}</math>和<math>\{x \in K \mid x > a\}</math>作為[[基 (拓撲學)#準基|準基]]來生成，稱之為[[序拓撲]]。加法和乘法运算相对于这个拓扑空间是[[連續函數_(拓撲學)|连续]]的。

==例子==
* [[有理数]]<math>\mathbb{Q}</math>组成最小的有序域
* [[实数]]<math>\mathbb{R}</math>和其中的任何部分域
* [[超实数]]

[[Category:域论|I]]
[[Category:序理论|I]]