查看“︁有序向量空间”︁的源代码

{{No footnotes|time=2019-07-14T06:12:20+00:00}}
[[File:Ordered_space_illustration.svg|右|缩略图|<math>\mathbb R^2 </math>中的一点<math>x</math>以及集合<math>\{y|x\le y\}</math>（红色）。此处的序定义为<math>x\le y</math>当且仅当<math>x_1\le y_1</math>且<math>x_2\le y_2</math>。]]
在[[数学]]中，'''有序向量空间'''（ordered vector space）是带有[[偏序关系|偏序]]的[[向量空间]]，并且偏序与向量空间的运算是相容的。又称'''偏序向量空间'''（partially ordered vector space）。

== 定义 ==
给定[[实数]]<math>\mathbb R</math>上的向量空间<math>V</math>以及[[集合 (数学)|集合]]<math>V</math>上的[[预序关系|预序]]<math>\le</math>，如果对<math>V</math>中任意的<math>x,y,z</math>以及非负实数<math>\lambda</math>，以下公理成立

# <math>x\le y\implies x+z\le y+z</math>
# <math>x\le y\implies \lambda x\le\lambda y</math>

则有序对<math>(V,\le)</math>称为'''预序向量空间'''（preordered vector space）。若<math>\le</math>还是[[偏序关系|偏序]]，则<math>(V,\le)</math>称为'''有序向量空间'''。这两条公理说明，[[平移]]与正的[[位似变换]]是序结构的自同构，并且映射<math>x\mapsto -x</math>是到对偶序结构的同构。有序向量空间关于其加法运算构成[[有序交換群|有序群]]。

== 正锥 ==
给定预序向量空间<math>V</math>，子集<math>V^+=\{x\in V|x\ge 0\}</math>是一个[[凸锥]]，称为<math>V</math>的'''正锥'''（positive cone）。若<math>V</math>是有序向量空间，则<math>V^+\cap(-V^+)=\{0\}</math>，因此<math>V^+</math>还是真锥。

若<math>V</math>是实向量空间，<math>C</math>是<math>V</math>的真凸锥，则存在唯一的偏序使得<math>V</math>成为有序向量空间并且<math>V^+=C</math>。这个偏序由以下方式给出

<math>x\le y</math>当且仅当<math>y-x\in C</math>

因此，向量空间<math>V</math>上（与向量空间结构相容）的偏序与<math>V</math>的真凸锥之间存在一一对应。

== 例子 ==

* [[实数]]关于通常的顺序构成有序向量空间。
* 以下关系都是<math>\mathbb R^2 </math>上的偏序，且按照从弱到强的顺序排列。
*# [[字典序]]：<math>(a,b)\le(c,d)</math>当且仅当<math>a<c</math>或<math>(a=c,b\le d)</math>。这是一个[[全序关系|全序]]。正锥由条件<math>x>0</math>或<math>(x=0,y\ge 0)</math>给出。用[[极坐标系|极坐标]]表示，正锥就是由角度满足<math>-\frac\pi2<\theta\le\frac\pi2</math>的点再加上原点组成。
*# <math>(a,b)\le(c,d)</math>当且仅当<math>a\le c</math>且<math>b\le d</math>（这实际上就是两个偏序集<math>(\mathbb R,\le)</math>的乘积序）。这是一个偏序。正锥由<math>x\ge 0,y\ge0</math>给出。在极坐标中就是<math>0\le\theta\le\frac\pi2</math>，再加上原点。
*# <math>(a,b)\le(c,d)</math>当且仅当<math>(a<c,b<d)</math>或<math>(a=c,b=d)</math>，也就是两个<math>(\mathbb R,<)</math>的[[直积#二元关系的直积|直积]]的反射闭包。正锥由<math>(x>0,y>0)</math>或<math>x=y=0</math>给出。在极坐标系中，就是<math>0<\theta<\frac\pi2</math>，再加上原点。


只有第二个序是闭集（作为<math>\mathbb R^2\times\mathbb R^2</math>的子集）。
<br />

* 仿照<math>n=2</math>的情况，可以在<math>\mathbb R^n</math>上定义类似的偏序。例如，仿照上面提到的第二个序，可以定义：
** <math>x\le y </math>当且仅当<math>x_i\le y_i\,(i=1,\cdots,n)</math>
* [[里斯空间]]是有序向量空间，并且还是[[格 (数学)|格]]。
* <math>[0,1]</math>上的连续函数组成的空间，<math>f\le g</math>当且仅当对任意<math>x\in[0,1],\,f(x)\le g(x)</math>。

== 备注 ==
偏序向量空间中的区间是[[凸集]]。设<math>[a,b]=\{x|a\le x\le b\}</math>，由上面的两个公理可以得出：如果<math>x,y\in[a,b],\lambda\in(0,1)</math>，则<math>\lambda x+(1-\lambda)y\in[a,b]</math>。

== 参见 ==

* [[偏序空间]]
* [[里斯空间]]

== 参考文献 ==

* [[尼古拉·布尔巴基|尼古拉·布尔巴基]]; <cite>Elements of Mathematics: Topological Vector Spaces</cite>; {{isbn|0-387-13627-4}}.
* {{Cite book|authorlink=Helmut Schaefer|last=Schaefer|first=Helmut H|last2=Wolff, M.P.|title=Topological vector spaces, 2nd ed|publisher=New York: Springer|year=1999|pages=204–205|isbn=0-387-98726-6}}
* {{Cite book|last=Aliprantis|first=Charalambos D|authorlink=Charalambos D. Aliprantis|last2=Burkinshaw,  Owen|title=Locally solid Riesz spaces with applications to economics|edition=Second|publisher=Providence, R. I.: American Mathematical Society|year=2003|pages=|isbn=0-8218-3408-8}}
[[Category:泛函分析]]
[[Category:向量空间]]
[[Category:有序群]]