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在[[数学]]中，'''有向集合'''（也叫'''有向预序'''或'''过滤集合'''），是一个具有[[预序关系]]（[[自反关系|自反]]及[[传递关系|传递]]之[[二元关系]] ≤）的非空[[集合 (数学)|集合]] ''A''，而且每一對元素都會有個[[上界]]<ref>Kelley, p. 65.</ref>，亦即对于 ''A'' 中任意两个元素 ''a'' 和 ''b''，存在着 ''A'' 中的一个元素 ''c''（不必然不同于 ''a,b''），使得 ''a'' ≤ ''c'' 和 ''b'' ≤ ''c''（有向性）。

有向集合是非空[[全序集合]]的廣義化，亦即所有的全序集合都會是有向集合（[[偏序集合]]則不一定是有向的，因極大元原故）。在[[拓撲學]]裡，有向集合被用來定義[[網 (數學)|網]]，一種廣義化[[序列]]且統合用於[[數學分析]]中各式[[極限 (數學)|極限]]的概念。有向集合亦在[[抽象代數]]及（更一般的）[[範疇論]]中被用來產生[[有向極限]]這類的概念。

== 应用 ==
有向集合是非空[[全序关系|全序集合]]的一般化。在[[拓扑]]中它们用来定义一般化[[柯西序列|序列]]的[[网 (数学)|网]]，并联合在[[数学分析]]中用到的各种[[极限]]的概念。

== 例子 ==
有向集合的例子有：
* 带有普通次序 ≤ 的[[自然数]]的集合 '''N''' 是一个有向集合（也是[[全序关系|全序集合]]）。 
* 如果 ''x''<sub>0</sub> 是[[实数]]，我们可以把 '''R''' - {''x''<sub>0</sub>} 集合变成有向集合，通过写 ''a'' ≤ ''b'' 当且仅当 |''a'' - ''x''<sub>0</sub>| ≥ |''b'' - ''x''<sub>0</sub>|。我们说实数已经被导向了 ''x<sub>0</sub>''。这不是偏序。
* 如果 ''T'' 是一个[[拓扑空间]]而 ''x''<sub>0</sub> 是 ''T'' 中的一个点，我们可以把 ''x''<sub>0</sub> 的所有邻域的集合变成有向集合，通过写 ''U'' ≤ ''V'' 当且仅当 ''U'' 包含 ''V''。
** 对于所有 ''U'': ''U'' ≤ ''U''；因为 ''U'' 包含自身。
** 对于所有 ''U'',''V'',''W''：如果 ''U'' ≤ ''V'' 而 ''V'' ≤ ''W''，则 ''U'' ≤ ''W''；因为如果 ''U'' 包含 ''V'' 而 ''V'' 包含 ''W'' 则 ''U'' 包含 ''W''。
** 对于所有 ''U'', ''V''：存在着集合 ''U'' <math>\cap</math>''V'' 使得 ''U'' ≤ ''U'' <math>\cap</math>''V'' 并且 ''V'' ≤ ''U'' <math>\cap</math>''V''；因为 ''U'' 和 ''V'' 二者都包含 ''U'' <math>\cap</math>''V''。
* 在[[偏序关系|偏序集合]] ''P'' 中，所有形如 {''a''| ''a''<math>\in</math>''P'', ''a'' ≤''x''} 的子集都是有向的，这里 ''x'' 是 ''P'' 的一个固定的元素。

== 对比于半格 ==

有向集合是比（并）半格更弱的（更一般的）概念：所有[[半格|并半格]]都是有向集合，两个元素的[[并运算|并]]就是想要的 ''c''。

但是有向集合不要求'''极小性'''：可以有很多其他这样的 ''c''。

== 有向子集 ==
有向集合不需要是[[反对称关系|反对称]]的，并且一般不是[[偏序关系|偏序的]]。但是这个术语也经常用在偏序集合的上下文中。在这种情况下，偏序集合（''P''，≤）的子集 ''A'' 叫做'''有向子集'''，[[当且仅当]]
* ''A'' 不是[[空集]]，
* 对于 ''A'' 中任何两个 ''a'' 和 ''b''，存在 ''A'' 中的一个 ''c'' 有着 ''a'' ≤ ''c'' 和 ''b'' ≤ ''c''（有向性），

这里 ''A'' 的元素的次序继承自 ''P''。为此，自反性和传递性不需要明确的要求。

有向子集最常用于[[域理论]]，这里研究要求有[[最小上界]]的那些集合。所以，有向子集提供在偏序情况下一般化的（收敛）序列。

==参见==
* [[等价关系]]
* [[滤子 (数学)]]
* [[理想 (数学)]]
* [[半格]]
* [[滤通范畴]]

== 參考資料 ==
<references />

[[Category:序理论|Y]]