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'''會圓術'''，是從《[[九章算術]]》的「方田」章所載的「弧田術」的基礎發展而成的，並載於《[[夢溪筆談]]》一書，但作者[[沈括]]并未给出这一公式的推导。

所謂「會圓術」就是已知[[弓形]]的高和所在圆直径，通过勾股定理求出弓形的弦长，进而求出弓形[[弧長]]的方法。即：<math>c\approx \frac{2h^2}{d}+l</math>。其中<math>c</math>为弧长，<math> d </math>為弧所在的圓之直径，<math>l</math>為弓形的弦长，<math>h</math> 為弓形的高。

元代[[王询]]、[[郭守敬]]等人在推算《[[授时历]]》的过程中，曾應用会圆术推算“赤道積度”（太陽赤經余弧）和“赤道內外度”（太陽赤緯），類似歐美的球面三角形的公式。但由於会圆术弧矢公式易出現误差，圆心角越大，誤差越大，推得的周天直径不够精确，因而其结果也就不十分精确。而計算方法僅限於[[畢氏定理]]，不知利用[[三角函數]]的正切，由弧度求弦矢，计算過於繁琐。<ref>钱宝琮:《授时历法略论》，见《钱宝琮科学史论文选集》,科学出版社，1983年</ref>明朝末年制定《崇祯历书》则由[[徐光啓]]直接引进西方数学。

== 内容 ==
沈括说：“履亩之法，方圆曲直尽矣，未有会圆之术。凡圆田，既能拆之，须使会之复圆。”，“拆”即将圆割掉一个弓形，“会”意为合，也就是把“拆”掉的圆再复原回去，因此沈括又将这种方法称为“拆会之术”。

已知圆的[[直径]]和弓形的高，沈括先用[[勾股定理]]求出弓形的弦长：“置圆田，径半之以为弦，又以半径减去所割数，余者为股；各自乘，以股除弦，余者开方除为勾，倍之为割田之直径”。“所割之数”指弓形的高，而“直径”指的是弓形的弦长，不是圆的直径。即<math>l=2\sqrt{(\frac{d}{2})^2-({d}-h)^2}</math>，其中<math>l</math>為弓形的弦长，<math> d </math>為弧所在的圓之直径，<math>h</math> 為弓形的高。然后“以所割之数自乘倍之，又以圆径除所得，加入直径，为割田之弧”。即<math>c\approx \frac{2h^2}{d}+l</math>，其中<math>c</math>为弧长。

== 推导过程 ==
虽然沈括没有给出他的推导过程，但可以根据《[[九章算術]]·方田》中的「弧田術」、「宛田術」和「圭田術」（即弓形、扇形和三角形面积公式）得到沈括的公式。

「弧田術」认为：弓形面积<math>\approx</math>“以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一”，即<math>\frac{hl+h^2}{2}</math>，<math>l</math>為弓形的弦长，<math>h</math> 為弓形的高；

「宛田術」指出：扇形面积=“以徑乘周，四而一”，即<math>\frac{1}{4} {c}\times{d}</math>，<math>c</math>为弧长，<math>{d}</math>为所在的圓之直径；

「圭田術」指出：三角面积=“半廣以乘正從”，即<math>\frac{1}{2}</math>底<math>\times</math>高，则弓形所在扇形的圆心与弓弦围成的三角形面积=<math>\frac{1}{2}{l}{(r-h)}</math>。

[[File:会圆术弧长公式与圆周弧长比较.png|缩略图|会圆术求得的弧长与实际弓形弧长之比较]]

弓形所在扇形面积=弓形面积+该扇形圆心与弓弦围成的三角形面积，即

<math>\frac{1}{4} c\times{d}\approx \frac{hl+h^2}{2}+ \frac{1}{2}{l}{(r-h)}</math>，化简整理：

<math> rc\approx {hl+h^2}+{lr}-{lh} </math>

<math>c\approx \frac{h^2}{r}+l= \frac{2h^2}{d}+l</math>

因为所依据的「弧田術」是错误的弓形面积公式，所以「會圓術」計算所得的弓形弧长也不正确，只是近似值，偏差随圆心角增大而增大。

==注釋==
{{reflist}}

==外部連結==
*[http://kss.hkcampus.net/~kss-wsf/theory.htm#circle2 會圓術] {{Wayback|url=http://kss.hkcampus.net/~kss-wsf/theory.htm#circle2 |date=20100507090755 }}

[[Category:沈括]]
[[Category:圓]]