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[[Image:brachistochrone.png|right|thumb|从点A到点B的最速降线是一条摆线。]]
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'''最速降線問題'''，又稱'''最短時間問題'''、'''最速落徑問題'''。問題如下：假想你正在側視的場景有高低不同的兩點，且高點不是在低點的正上方，若從高點放開一個靜止的[[質點]]讓它沿著任一路徑（直線、曲線、或折線皆可）滑到低點，其間只有均勻的[[重力]]作用而沒有[[摩擦力]]，則怎樣的路徑可讓這段行程的時間最短？在部分歐洲語言中，這個問題稱為'''Brachistochrone'''，即[[希臘語]]中的「最短」（brachistos）和「[[時間]]」（chronos）。本問題的解答是[[擺線]]（而非很多人會猜想的直線），可以用[[變分法]]证明。

== 歷史 ==

1638年，[[伽利略]]在《論兩種新科學》中以為此線是圓弧。[[約翰·伯努利]]參考之前分析過的[[等时降落问题|等時降落軌跡]]，證明了此線是[[擺線]]，並在1696年6月的《[[博學通報]]》發表。[[艾薩克·牛頓]]、[[雅各布·伯努利]]、[[萊布尼茲]]和[[洛必達]]都得出同一結論，即正确的答案应该是摆线的一段。除了洛必達的解外，其他人的解都在1697年5月的《[[博學通報]]》出現。

== 证明 ==

=== 约翰·伯努利的证明 ===

[[费马原理]]说明，两点间[[光线]]传播的路径是所需时间最少的路径。约翰·伯努利利用该原理,对此问题进行解决。<br />

运用[[机械能守恒定律]]，可以导出在恒定重力场中运动的物体的速度满足
:<math>v=\sqrt{2gy}</math>,
式中y表示物体在竖直方向上落下的距离，g为[[重力加速度]]。通过机械能守恒可知，经不同的曲线落下，物体的速度与水平方向的位移无关。<br />
通过假设光在[[光速]]v在满足:<math>v=\sqrt{2gy}</math>的[[傳輸介質]]中运动形成的轨迹来导出最速降线。<br />
约翰·伯努利注意到，根据[[折射定律]]，一束光在密度不均的介质中传播时存在一常数

:<math>\frac{\sin{\theta}}{v}=\frac{1}{v}\frac{dx}{ds}=\frac{1}{v_m}</math>,
式中v<sub>m</sub>为常数(可认为为真空中光速c，θ为轨迹与竖直方向的夹角，dx为水平方向路径微分，ds为运动方向路径微分。<br />

通过上述方程，我们可以得到两条结论：

#在刚开始，当质点的速度为零时，夹角也必然是零。因此，最速降线在起始处与竖直方向[[相切]]。

#当轨迹变为水平即夹角变为90°时，速度达到最大。

为了简化过程，我们假设质点（或光束）相对于原点(0,0)有坐标(x,y)，且当下落了竖直距离''D''后达到了最大速度，则

:<math>v_m=\sqrt{2gD}</math>.

整理折射定律式中的各项并平方得到

:<math>v_m^2(dx)^2=v^2(ds)^2=v^2((dx)^2+(dy)^2)</math>

可以解得''dx''对''dy''有

:<math>dx=\frac{v dy}{\sqrt{v_m^2-v^2}}</math>.

代入v和v<sub>m</sub>的表达式得到

:<math>dx=\sqrt{\frac{y}{D-y}}dy</math>

这是一个由直径为''D''的圆所形成的倒过来的摆线的[[微分方程]]。

=== 雅各布·伯努利的证明 ===

约翰的哥哥[[雅各布·伯努利]]说明了如何从二阶微分得到最短时间的情况。一种现代版本的证明如下。<br />
如果我们从最短时间路径发生微小移动，那么形成三角形满足

:<math>ds^2=dx^2+dy^2</math>.
''dy''不变求微分，得到

:<math>2ds\ d^2s=2dx\ d^2x</math>

最后整理得到

:<math>\frac{dx}{ds}d^2x=d^2s=v\ d^2t</math>
最后的部分即二阶微分下距离的改变量与给定的时间的关系。现在考虑下图中的两条相邻路径，中间的水平间隔为''d<sup>2</sup>x''。对新旧两条路径，改变量为
[[File:Path function 2.PNG|right]]

:<math>d^2t_1=\frac{1}{v_1}\frac{dx_1}{ds_1}d^2x</math>

:<math>d^2t_2=\frac{1}{v_2}\frac{dx_2}{ds_2}d^2x</math>

对于最短时间的路径，两个时间相等，故得到

:<math>d^2t_2-d^2t_1=0=\bigg(\frac{1}{v_2}\frac{dx_2}{ds_2}-\frac{1}{v_1}\frac{dx_1}{ds_1}\bigg)d^2x</math>

因此最短时间的情况为

:<math>\frac{1}{v_2}\frac{dx_2}{ds_2}=\frac{1}{v_1}\frac{dx_1}{ds_1}</math>

== 最速降線的數學形式與最短時間 ==

在垂直平面上，自原點<math>\left(\,0,\,0\right)</math>至目的地<math>\left(\,x_1,\,y_1\right)</math>的最速降線具有以下數學形式：

:<math>x=\frac{1}{2}k^2\left(\theta-\sin\theta\right),\ y=\frac{1}{2}k^2\left(1-\cos\theta\right).</math><ref>{{Cite web |url = http://mathworld.wolfram.com/BrachistochroneProblem.html |title = Brachistochrone Problem -- from Wolfram MathWorld |accessdate = 2014-08-10 |archive-date = 2020-11-12 |archive-url = https://web.archive.org/web/20201112034552/https://mathworld.wolfram.com/BrachistochroneProblem.html |dead-url = no }}</ref>

這裡的<math>y</math>座標軸方向向下，且<math>y_1\geq 0</math>；<math>\theta</math>為此擺線參數表達式的參數，原點處<math>\theta=0</math>。

物體自原點沿最速降線滑至<math>\theta=\theta_1</math>處所需的時間可由以下積分式給出：

:<math>t=\int_{\theta=0}^{\theta=\theta_1} \mathrm dt=\int_{\theta=0}^{\theta=\theta_1} \frac{\mathrm ds}{v}</math>。

利用<math>ds=\sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2}</math>以及<math>v=\sqrt{2gy}</math>，並以<math>\theta</math>作為參數，整理後得

:<math>\frac{ds}{v}=\frac{k}{\sqrt{2g}}\mathrm d\theta</math>

:<math>t=\frac{k}{\sqrt{2g}}\theta_1</math>。

自此擺線的參數式中易知<math>y</math>的最大值為<math>k^2</math>，此值必須等於擺線的繞轉圓直徑<math>2r</math>，因此

:<math>k=\sqrt{2r}</math>

:<math>t=\theta_1\sqrt{\frac{r}{g}}</math>。

現假設終點與原點直線距離<math>\ l\ </math>，且終點對原點的[[仰角]]為<math>\phi</math>。利用此擺線的參數式，可知

:<math>l=\sqrt{x_1^2+y_1^2}=r\sqrt{\left(\theta-\sin\theta\right)^2+\left(1-\cos\theta\right)^2}</math>

[[File:Brachistochrone time to depression angle.png|thumb|347px|最速降線問題的終點俯角-最短下滑時間關係曲線。圖中原點到終點的直線距離定為1.00公尺，下滑時間隨俯角增大而縮短。]]

:<math>\tan\phi=\frac{y_1}{x_1}=\frac{1-\cos\theta}{\theta-\sin\theta}</math>

利用<math>l</math>的關係式求出<math>r</math>，並代回下滑時間中，得

:<math>t\,\left(\,l,\,\theta\right)=\sqrt{\frac{l}{g}}\frac{\theta}{\sqrt[4]{\left(\theta-\sin\theta\right)^2+\left(1-\cos\theta\right)^2}}</math>

綜合上述，討論在<math>\ l\ </math>已知的情況下，下滑時間<math>t</math>與俯角<math>\phi</math>的關係為

:<math>\left(\,\phi,\,t\right)=\left(\,\arctan\frac{1-\cos\theta}{\theta-\sin\theta},\,\sqrt{\frac{l}{g}}\frac{\theta}{\sqrt[4]{\left(\theta-\sin\theta\right)^2+\left(1-\cos\theta\right)^2}}\right)</math>。

== 外部連結 ==
* [http://demoexp.phy.ncu.edu.tw/project/all/item/75-2016-06-06-15-34-35 重力下的最快下降曲線]：[[國立中央大學]]物理演示實驗網站；內含實驗影片。
* [http://mathworld.wolfram.com/BrachistochroneProblem.html Brachistochrone Problem -- from Wolfram MathWorld-] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/BrachistochroneProblem.html |date=20201112034552 }}：有詳細的公式證明。{{en}}

==參考資料==

[[Category:曲线]]
[[Category:数学问题]]