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'''最小相位'''（minimum-phase）是[[控制理论]]及[[信號處理]]中有特殊性質的系統，對於[[线性时不变系统理论|线性时不变系统]]，若本身為[[因果系统]]且[[有界輸入有界輸出穩定性|穩定]]，且其逆系統也是穩定的因果系统，此系統即為最小相位系統<ref>{{cite book |author1=Hassibi, Babak |author2=Kailath, Thomas |author3=Sayed, Ali H. |title=Linear estimation |url=https://archive.org/details/linearestimation00kail_622 |publisher=Prentice Hall |location=Englewood Cliffs, N.J |year=2000 |pages=[https://archive.org/details/linearestimation00kail_622/page/n217 193] |isbn=0-13-022464-2}}</ref><ref>J. O. Smith III, ''[http://ccrma.stanford.edu/~jos/filters/Definition_Minimum_Phase_Filters.html Introduction to Digital Filters with Audio Applications] {{Wayback|url=http://ccrma.stanford.edu/~jos/filters/Definition_Minimum_Phase_Filters.html |date=20090220233445 }}'' (September 2007 Edition).</ref>。

相反的，非最小相位（non-minimum phase）系統可以用最小相位系統串接{{le|全通濾波器|all-pass-filter}}，使部份的零點移到右半面。若有零點在右半面，表示其逆系統不穩定。全通濾波器加入了「額外的相位」（有些可能是传送迟延），這也是為何所得系統稱為非最小相位的原因。

例如一個離散系統，其[[有理函數|有理]][[傳遞函數]]若其所有的[[极点_(复分析)|極點]]都在[[單位圓]]內，此系統為符合因果性的穩定系統。不過此系統的[[零點]]可以在單位圓內或是圓外的任意位置。若離散系統的零點也都在單位圓內，則這個系統也是最小相位的系統。以下會說明為何這様的系統會稱為最小相位系統。

== 逆系統 ==
一系統<math>\mathbb{H}</math>可逆的條件是可以由其輸出找到唯一對應的輸入，也就是可以找到系統<math>\mathbb{H}_{inv}</math>使得若將<math>\mathbb{H}</math>及<math>\mathbb{H}_{inv}</math>二個系統連接，可以得到單位系統<math>\mathbb{I}</math>（可以參[[反矩陣]]）。

:<math>\mathbb{H}_{inv} \, \mathbb{H} = \mathbb{I}</math>

假設<math>\tilde{x}</math>為系統<math>\mathbb{H}</math>的輸入，其輸出為<math>\tilde{y}</math>

:<math>\mathbb{H} \, \tilde{x} = \tilde{y}</math>

將<math>\tilde{y}</math>作為逆系統的輸入，可得：

:<math>\mathbb{H}_{inv} \, \tilde{y} = \mathbb{H}_{inv} \, \mathbb{H} \, \tilde{x} = \mathbb{I} \, \tilde{x} = \tilde{x}</math>

因此可以用逆系統<math>\mathbb{H}_{inv}</math>，找到輸出<math>\tilde{y}</math>對應的唯一輸入<math>\tilde{x}</math>。

=== 離散時間的例子===
假設系統<math>\mathbb{H}</math>是離散時間的[[線性非時變系統]]（LTI），可以用[[冲激响应]]<math>h(n)</math>（''n''為整數）表示。而且，假設系統<math>\mathbb{H}_{inv}</math>的 冲激响应為<math>h_{inv}(n)</math>。二個線性非時變系統的級聯為[[卷積]]。上述的關係可以以下式表示：

:<math>(h * h_{inv}) (n) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} h(k) \, h_{inv} (n-k) =  \delta (n)</math>

其中<math>\delta (n)</math>為[[克罗内克函数]]或是離散時間下的[[單位矩陣]]。注意其逆系統<math>\mathbb{H}_{inv}</math>不一定要是唯一的。

== 最小相位系統 ==
若系統再加上[[因果系统|因果性]]且[[有界輸入有界輸出穩定性|穩定性]]的條件時，其逆系統就是唯一的，而且系統<math>\mathbb{H}</math>和逆系統<math>\mathbb{H}_{inv}</math>都是最小相位系統。離散系統下因果性及穩定性的條件如下（針對非時變系統，其中的h為系統的沖激響應）：

=== 因果性 ===

:<math>h(n) = 0 \,\, \forall \, n < 0</math>
及
:<math>h_{inv} (n) = 0 \,\, \forall \, n < 0</math>

=== 穩定性 ===

:<math>\sum_{n = -\infty}^{\infty}{\left|h(n)\right|} = \| h \|_{1} < \infty</math>
及
:<math>\sum_{n = -\infty}^{\infty}{\left|h_{inv}(n)\right|} = \| h_{inv} \|_{1} < \infty</math>

在[[有界輸入有界輸出穩定性]]條目會看到對應連續系統的條件。
== 頻域分析 ==
=== 離散時間系統的頻域分析 ===
將最小相位應用在離散時間系統中可以看出一些其中的特性，其時域方程式如下。

:<math>(h * h_{inv}) (n) = \,\! \delta (n)</math>

進行[[Z轉換]]後可以得到以下的關係。

:<math>H(z) \, H_{inv}(z) = 1</math>

由於上述關係，可得

:<math>H_{inv}(z) = \frac{1}{H(z)}</math>

為了簡單起見，只考慮[[有理函數|有理]][[传递函数]] ''H'' (''z'')。因果性及穩定性表示所有的''H'' (''z'')[[极点 (复分析)|极点]]都需要嚴格的在[[单位圆]]內（參照[[有界輸入有界輸出穩定性]]）。假設

:<math>H(z) = \frac{A(z)}{D(z)}</math>

其中''A'' (''z'')及''D'' (''z'')是''z''的[[多項式]]。因果性及穩定性會使得''D'' (''z'')的[[零点]]（[[根 (数学)|根]]）需要嚴格的在[[单位圆]]內（不能在邊界上）。而

:<math>H_{inv}(z) = \frac{D(z)}{A(z)}</math>

因此<math>H_{inv}(z)</math>的因果性及穩定性也會使得為''A'' (''z'')的零点需要嚴格的在[[单位圆]]內，上述二個條件下，最小相位系統的零點及極點都需要在嚴格的在单位圆內。

=== 連續時間系統的頻域分析 ===
連續時間系統的分析和離散系統類似，不過會使用[[拉普拉斯变换]]，其時域的方程式如下。

:<math>(h * h_{inv}) (t) = \,\! \delta (t)</math>

其中<math>\delta(t)</math>為[[狄拉克δ函数]]。[[狄拉克δ函数]]是連續時間下的恒等算子，因為其和任意信號''x'' (''t'')都會有篩選性質。

:<math>\delta(t) * x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t - \tau) x(\tau) d \tau = x(t)</math>

進行[[拉普拉斯变换]]可得到以下[[S平面]]的關係。

:<math>H(s) \, H_{inv}(s) = 1</math>

也可以得到下式

:<math>H_{inv}(s) = \frac{1}{H(s)}</math>

為簡化起見，此處也只考慮有理传递函数''H''(''s'')。因果性及穩定性表示''H'' (''s'')的所有[[极点 (复分析)|极点]]都要嚴格的在左半[[S平面]]（參考[[有界輸入有界輸出穩定性]]）。假設

:<math>H(s) = \frac{A(s)}{D(s)}</math>

其中''A'' (''s'')及''D'' (''s'')是''s''的[[多項式]]。<math>H(s)</math>的因果性及穩定性表示''D'' (''s'')的所有零點都在左半S平面內，而

:<math>H_{inv}(s) = \frac{D(s)}{A(s)}</math>

<math>H(s)</math>的因果性及穩定性表示''A'' (''s'')的所有零點都在左半S平面內，因此最小相位系統的最有極點及零點都需要嚴格的在左半S平面內。

===增益響應及相位響應的關係===

不論是連續時間或是離散時間的最小相位系統，都有一個常會用到的性質：增益頻率響應的自然對數（增益的對數單位為[[奈培]]，和[[分貝]]成正比），和頻率響應的相角（單位為[[弧度]]）有關，兩者的關係是[[希爾伯特轉換]]。在連續時間系統下，令

:<math>H(j \omega) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  H(s) \Big|_{s = j \omega}  \ </math>

是系統''H''(''s'')的複數頻率響應。在最小相位系統下，系統''H''(''s'')的相位響應和增益響應的關係為

:<math> \arg \left[ H(j \omega) \right] = -\mathcal{H} \lbrace \log \left( |H(j \omega)| \right) \rbrace \ </math>

以及

:<math> \log \left( |H(j \omega)| \right) = \log \left( |H(j \infty)| \right) + \mathcal{H} \lbrace \arg \left[H(j \omega) \right] \rbrace \ </math>.

若用較精簡的方式表示，令

:<math>H(j \omega) = |H(j \omega)| e^{j \arg \left[H(j \omega) \right]} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  e^{\alpha(\omega)}  e^{j \phi(\omega)} = e^{\alpha(\omega) + j \phi(\omega)} \ </math>

其中<math>\alpha(\omega)</math>和<math>\phi(\omega)</math>都是實數下的實函數，則

:<math> \phi(\omega) = -\mathcal{H} \lbrace \alpha(\omega) \rbrace \ </math>

及

:<math> \alpha(\omega) = \alpha(\infty) + \mathcal{H} \lbrace \phi(\omega) \rbrace \ </math>.

希爾伯特轉換算子定義為

:<math>\mathcal{H} \lbrace x(t) \rbrace \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \widehat{x}(t) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x(\tau)}{t-\tau}\, d\tau \ </math> .

在離散時間系統中也有等效的對應關係。

== 時域下的最小相位 ==

針對所有有相同增益响应的因果[[有界輸入有界輸出穩定性|穩定]]系統，最小相位系統的能量最集中在[[冲激响应]]的開始處，也就是說最小相位系統最小化了以下的函數（可以視為是[[冲激响应]]能量的延遲）。

:<math> \sum_{n = m}^{\infty} \left| h(n) \right|^2 \,\,\,\,\,\,\, \forall \, m \in \mathbb{Z}^{+}</math>

== 最小相位及最小群延遲 ==

在所有增益响应相同的因果[[有界輸入有界輸出穩定性|穩定]]系統中，最小相位系統的[[群延遲]]最小。以下證明可以說明為何該系統有最小的群延遲。

假設考慮[[传递函数]]<math>H(z)</math>中的一個[[零点]] <math>a</math>，先讓零点<math>a</math>在[[单位圆]]內（<math>\left| a \right| < 1</math>），看對群延遲的影響。

:<math>a = \left| a \right| e^{i \theta_a} \, \mbox{ where } \, \theta_a = \mbox{Arg}(a)</math>

因為[[零点]] <math>a</math> 在[[传递函数]]中貢獻了<math>1 - a z^{-1}</math>的因子，因此其對相位的貢獻如下：

:<math>\phi_a \left(\omega \right) = \mbox{Arg} \left(1 - a e^{-i \omega} \right)</math>

:<math>= \mbox{Arg} \left(1 - \left| a \right| e^{i \theta_a} e^{-i \omega} \right)</math>

:<math>= \mbox{Arg} \left(1 - \left| a \right| e^{-i (\omega - \theta_a)} \right)</math>

:<math>= \mbox{Arg} \left( \left\{ 1 - \left| a \right| cos( \omega - \theta_a ) \right\} + i \left\{ \left| a \right| sin( \omega - \theta_a ) \right\}\right)</math>

:<math>= \mbox{Arg} \left( \left\{ \left| a \right|^{-1} - \cos( \omega - \theta_a ) \right\} + i \left\{ \sin( \omega - \theta_a ) \right\} \right)</math>

<math>\phi_a (\omega)</math>所貢獻的相延遲如下。

:<math>-\frac{d \phi_a (\omega)}{d \omega} = \frac{ \sin^2( \omega - \theta_a ) + \cos^2( \omega - \theta_a ) - \left| a \right|^{-1} \cos( \omega - \theta_a )

}{

\sin^2( \omega - \theta_a ) + \cos^2( \omega - \theta_a ) + \left| a \right|^{-2} - 2 \left| a \right|^{-1} \cos( \omega - \theta_a )

 }</math>

:<math> -\frac{d \phi_a (\omega)}{d \omega} = \frac{ \left| a \right| - \cos( \omega - \theta_a )

}{

\left| a \right| + \left| a \right|^{-1} - 2 \cos( \omega - \theta_a )

 }</math>

若將零点<math>a</math>移到[[单位圆]]外的對應點，也就是<math>(a^{-1})^{*}</math>，上式的分母和<math>\theta_a</math>都不會變化，而分子的<math>\left| a \right|</math>大小增加，因此讓<math>a</math>在[[单位圆]]內可以讓群延遲中<math>1 - a z^{-1}</math>的貢獻最小化。可以將上述結果延伸到超過一個[[零点]]的情形，因為<math>1 - a_i z^{-1}</math>的相位是各項次相位相加的結果，因此，對於有<math>N</math>個零點的[[传递函数]]，

:<math>\mbox{Arg}\left( \prod_{i = 1}^N  \left( 1 - a_i z^{-1} \right) \right) = \sum_{i = 1}^N \mbox{Arg}\left( 1 - a_i z^{-1} \right) </math>

一個所有[[零点]]都在[[单位圆]]內的最小相位系統可以讓群延遲降到最小，因為每個[[零点]]對群延遲的貢獻都降到最小。

[[File:Minimum and maximum phase responses.gif|frame|center|上述計算的圖示。上下二部份是相同增益响应的濾波器（左圖為[[奈奎斯特图]]，右圖為相位響應），但上方零點<math>a = 0.8 < 1</math>的系統，其相位響應的大小最小]]

== 非最小相位系統 ==
若系統本身是因果穩定系統，其逆系統具有因果性，但不穩定，原系統即為'''非最小相位系統'''（non-minimum-phase）。非最小相位系統和最小相位系統有相同的增益響應，但非最小相位系統的相位貢獻會比最小相位系統要大。

=== 最大相位系統 ===
'''最大相位系統'''（maximum-phase）是和最小相位系統有相反特性的系統，最大相位系統也是非最小相位系統（系統本身是因果穩定系統，其逆系統具有因果性，但不穩定），而且
* 離散時間系統下的零點都在[[單位圓]]外。
* 連續時間系統下的零點都在複數平面的右半邊。
也就是其逆系統所有的極點都不穩定。

此系統稱為最大相位系統的原因是在所有有相同增益響應的系統中，最大相位系統有最大的[[群延遲]]。在等增益響應的系統的系統中，最大相位系統有最大的能量延遲。

例如以下是二個連續時間LTI系統的傳遞函數
:<math>\frac{s + 10}{s + 5} \qquad \text{and} \qquad \frac{s - 10}{s + 5}</math>

這二個系統的增益響應相同，但第二個系統相位移的貢獻較大，因此第二個系統是最大相位系統，而第一個系統為最小相位系統。

=== 混合相位系統 ===
離散時間下的'''混合相位系統'''（mixed-phase）有些零點在單位圓內，有些零在單位圓外，其群延遲不是最小值，也不是最大值。連續時間下的混合相位系統則是有些零點在右半平面內，有些零點在右半平面。

例如連續時間系統
:<math>\frac{ (s + 1)(s - 5)(s + 10) }{ (s+2)(s+4)(s+6) }</math>
是因果穩定系統，但有零點在左半平面，也有零點在右半平面，因此是混合相位系統。

=== 線性相位 ===
{{le|線性相位|linear phase}}（linear-phase）系統的群延遲是定值。非平凡的線性相位系統或是接近線性相位系統都是混合相位系統。

==相關條目==
*{{le|全通濾波器|all-pass-filter}}：一種特殊的非最小相位系統
*[[克拉莫-克若尼關係式]]：物理上的最小相位系統

==參考資料==
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==延伸閱讀==
{{refbegin}}
*Dimitris G. Manolakis, Vinay K. Ingle, Stephen M. Kogon : ''Statistical and Adaptive Signal Processing'', pp.&nbsp;54–56, McGraw-Hill, ISBN 0-07-040051-2
*Boaz Porat : ''A Course in Digital Signal Processing'', pp.&nbsp;261–263, John Wiley and Sons, ISBN 0-471-14961-6
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[[Category:数字信号处理]]
[[Category:控制理论]]