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{{NoteTA|G1=物理學}}
{{dablink|這篇文章闡述最小作用量原理的[[歷史]]。關於實用方法，請參閱條目[[作用量]]。}}

在[[物理學]]裡， '''作用量原理'''（{{lang-en|actions principle}}），或更精確地，'''平穩作用量原理'''（{{lang-en|stationary action principle}}），是一種[[變分原理]]，當應用於一個[[經典力學|機械系統]]的[[作用量]]時，可以得到此機械系統的[[運動方程式]]。這原理的研究引導出[[經典力學]]的[[拉格朗日力學|拉格朗日表述]]和[[哈密頓力學|哈密頓表述]]的發展。[[卡爾·雅可比]]特稱最小作用量原理為[[分析力學]]之母<ref name=Jourdain>{{Citation
  | last = Jourdain
  | first= Philip
  | title = The principle of least action
  | publisher = Open Court Publishing Company
  | year = 1913
  | pages =pp. 1, 54}}</ref>。

在現代物理學裏，這原理非常重要，在[[相對論]]、[[量子力學]]、[[量子場論]]裏，都有廣泛的用途。在現代數學裏，這原理是[[莫爾斯理論]]的研究焦點。本篇文章主要是在闡述最小作用量原理的歷史發展。關於數學描述、推導和實用方法，請參閱條目[[作用量]]。最小作用量原理有很多種例子，主要的例子是[[莫佩爾蒂原理]]（{{lang|en|Maupertuis' principle}}）和[[哈密頓原理]]。

在最小作用量原理之前，有很多類似的點子出現於[[測量學]]和[[光學]]。[[古埃及]]的{{le|拉繩測量者|rope stretcher}}在測量兩點之間的距離時，會將固定於這兩點的繩索拉緊，這樣，可以使間隔距離減少至最低值<ref name=Wilson>{{Citation
  | last = Wilson
  | first = Alistair Macintosh
  | title = The Infinite in the Finite
  | publisher = Oxford University Press
  | year = 1995
  | pages = 38
  | isbn =9780198539506 }}</ref>。[[托勒密]]在他的著作《地理學指南》（{{lang|gre|''Geographia''}}）第一册第二章裏強調，測量者必須對於直線路線的誤差做出適當的修正。[[古希臘]]數學家[[歐幾里得]]在《反射光學》（{{lang|gre|''Catoptrica''}}）裏表明，將光線照射於鏡子，則光線的[[反射 (物理学)|反射]]路徑的[[入射角]]等於[[反射角]]。稍後，[[希羅|亞歷山卓的希羅]]證明這路徑的長度是最短的<ref>{{cite book|last=Kline|first=Morris|title=Mathematical Thought from Ancient to Modern Times|url=https://archive.org/details/mathematicalthou0000unse|publisher=Oxford University Press|location=New York|year=1972|pages=pp. 167-168|isbn=0-19-501496-0}}</ref>。

==費馬的表述==
{{multiple image
 | image1=Reflection for Semicircular Mirror upright.svg
 | alt1=光線從點Q傳播至點O時，會被半圓形鏡子[[反射 (物理学)|反射]]，最終抵達點P。
 | width1=125
 | image2=Reflection for Mixed Shaped Mirror.svg
 | alt2=光線從點Q傳播至點O時，會被混合形狀鏡子反射，最終抵達點P。
 | width2=125
 | footer=光線從點Q傳播至點O時，會被半圓形或混合形鏡子[[反射 (物理学)|反射]]，最終抵達點P。
}}
1662年，[[皮埃爾·德·費馬]]提出[[費馬原理]]，又稱為「最短時間原理」：[[光線]]移動的路徑是需時最少的路徑<ref name=Dugas>{{Citation | last = Dugas | first = R. | title = A History Of Mechanics | place = New York | publisher = Dover Publications, Inc. | year=1988 | pages = pp. 255ff, 274, 345-346 | isbn=0-486-65632-2}}</ref>。

費馬原理更正確的版本應是「平穩時間原理」。對於某些狀況，光線移動的路徑所需的時間可能不是最小值，而是最大值，或甚至是[[拐點|拐值]]。例如，對於平面鏡，任意兩點的反射路徑光程是最小值；對於半橢圓形鏡子，其兩個焦點的光線反射路徑不是唯一的，光程都一樣，是最大值，也是最小值；對於半圓形鏡子，其兩個端點Q、P的[[反射 (物理学)|反射]]路徑光程是最大值；又如最右圖所示，對於由四分之一圓形鏡與平面鏡組合而成的鏡子，同樣這兩個點Q、P的[[反射 (物理学)|反射]]路徑的光程是拐值。<ref name="Hecht2002">{{citation|last =Hecht |first=Eugene|title=Optics|year=2002| location=United States of America | publisher=Addison Wesley| edition= 4th| isbn=0-8053-8566-5 | language=en |pages=pp. 106-111, 141}}</ref>

假設，介質1、介質2的折射率分別為<math>n_1</math>、<math>n_2</math>，光線從介質1在點O移動進入介質2，則司乃耳定律以方程式表達為
:<math>n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2</math>；

其中，<math>\theta_1</math>為入射角，<math>\theta_2</math>為折射角。

[[File:Snellslaw diagram B.png|thumb|光線從介質1的點Q，在點O移動進入介質2，發生折射，最後抵達介質2的點P]]
從費馬原理，可以推導出[[司乃耳定律]]。通過設定光程對於時間的導數為零，可以找到「平穩路徑」，這就是光線移動的路徑。光線在介質1與介質2的[[速度]]分別為
:<math>v_1=c/n_1</math>、
:<math>v_2=c/n_2</math>；

其中，<math>c</math>是[[真空]]光速。

由於介質會減緩光線的速度，折射率<math>n_1</math>和<math>n_2</math>都大於<math>1</math>。

如右圖所示，從點Q到點P的移動時間<math>T</math>為
:<math>T=\frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{b^2 +(l - x)^2}}{v_2}</math>。

根據費馬原理，光線移動的路徑是所需時間為極值的路徑，取移動時間<math>T</math>對變數<math>x</math>的導數，設定其為零：
:<math>\frac{dT}{dx}=\frac{x}{v_1\sqrt{x^2 + a^2}} + \frac{ -(l - x)}{v_2\sqrt{(l-x)^2 + b^2}}=0</math>。

由圖中的邊角關係，可以得到移動速度與折射角的關係式：
:<math>\frac{dT}{dx}=\frac{\sin\theta_1}{v_1} - \frac{\sin\theta_2}{v_2}=0</math>。

將移動速度與折射率的關係式代入，就會得到司乃耳定律：
:<math>n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2</math>。

費馬原理引發了極大的爭議。假若介質的密度越小，光線的移動速度越快，則費馬原理是正確的；但是，[[艾薩克·牛頓]]和[[勒內·笛卡兒]]都認為介質的密度越大，光線的移動速度就越快。1802年，[[托馬斯·楊]]做實驗發現，當光波從較低密度介質移動進入較高密度介质之後，光波的波長會變短，他因此推論光波的運動速度會降低。<ref name="Hecht2002"/>

==莫佩爾蒂的表述==
最小作用量原理應用於作用量的最初始表述，時常歸功於[[皮埃爾·莫佩爾蒂]]。於1744年和1746年，他寫出一些關於這方面的論文<ref name="mau44">P.L.M. de Maupertuis, [[s:fr:Accord de différentes loix de la nature qui avoient jusqu’ici paru incompatibles|''Accord de différentes lois de la nature qui avaient jusqu'ici paru incompatibles.'']]（1744）Mém. As. Sc. Paris p. 417.（[[s:Accord between different laws of Nature that seemed incompatible|英文翻譯]]）</ref><ref name="mau46">P.L.M. de Maupertuis, [[s:fr:Les loix du mouvement et du repos déduites d'un principe metaphysique|''Le lois de mouvement et du repos, déduites d'un principe de métaphysique.'']]（1746）Mém. Ac. Berlin, p. 267.（[[s:Derivation of the laws of motion and equilibrium from a metaphysical principle|英文翻譯]]）</ref>。但是，史學專家指出，這優先聲明並不明確。[[萊昂哈德·歐拉]]在他的1744年論文裏就已談到這原理<ref name="eul44">{{Citation
  | last = Euler
  | first = Leonhard
  | title = Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minive Proprietate Gaudentes
  | place = Geneva
  | publisher = Bousquet, Lausanne &
  | origyear = 1744
  | url = http://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E065.html
  | isbn = 
  | accessdate = 2010-07-26
  | archive-date = 2014-10-22
  | archive-url = https://web.archive.org/web/20141022111104/https://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E065.html
  | dead-url = no
  }}</ref>。還有一些考據顯示出，在1705年，[[戈特弗里德·萊布尼茨]]就已經發現這原理了<ref name="oco03">The MacTutor History of Mathematics網頁：{{Citation
  | last = O'Connor
  | first = J. J.
  | last2 = Robertson
  | first2 = R. F.
  | title = The Berlin Academy and forgery
  | url = http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Forgery_2.html
  | accessdate = 2010-07-26
  | archive-date = 2016-01-16
  | archive-url = https://web.archive.org/web/20160116104142/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Forgery_2.html
  | dead-url = no
  }}</ref>。

莫佩爾蒂發表的最小作用量原理闡明，對於所有的自然現象，[[作用量]]趨向於最小值。他定義一個運動中的物體的作用量為<math>A</math>，物體質量<math>m</math>、移動速度<math>v</math>與移動距離<math>s</math>的乘積<ref name=Dugas2>{{Citation | last = Dugas | first = R. | title = A History Of Mechanics 
 | place = New York | publisher = Dover Publications, Inc. | year = 1988 | pages = pp. 255ff 
 | isbn = 0-486-65632-2}}</ref>：
:<math>A=mvs</math> 
莫佩爾蒂又從[[宇宙論]]的觀點來論述，最小作用量好像是一種經濟原理。在[[經濟學]]裏，大概就是'''精省資源'''的意思。這論述的瑕疵是，並沒有任何理由，能夠解釋，為什麼作用量趨向最小值，而不是最大值。假若，我們解釋最小作用量為大自然的精省資源，那麼，我們又怎樣解釋最大作用量呢？

===折射理論===
於1744年，在巴黎科學院發表的一篇論文《幾種以前互不相容的自然定律的合一論》（{{lang|la|''Accord de plusieurs lois naturelles qui avaient paru jusqu'ici incompatibles''}}）中，莫佩爾蒂提出，光[[折射]]的路徑，從一種介質到另一種介質，是作用量的最小值。按照這論點，如前圖，假設光線從[[折射率]]為<math>n_1</math>的介質1折射於折射率為<math>n_2</math>介質2，則作用量為
:<math>A=m\left( v_1 \sqrt{x^2 + a^2}+v_2\sqrt{b^2 + (l-x)^2}\right)</math>；

其中，<math>m</math>是光線的質量。雖然光線並沒有質量，這變量對於結果沒有任何影響，可以被忽略。

取作用量對於變數<math>x</math>的導數，設定為零，經過一些運算，可以得到
:<math>v_1\sin\theta_1=v_2\sin\theta_2</math>。

請注意，這結果與牛頓的光粒子理論相符合；但是，與費馬得到的結果南轅北轍，大不相同。

===非彈性碰撞===
1747年，莫佩爾蒂在[[柏林科學院]]（{{lang|en|Academy of Berlin}}）發表了論文《運動與靜止定律》（{{lang|la|''Loix du mouvement et du repos''}}）。在這篇論文裏，他將[[碰撞]]分為兩種，[[彈性碰撞]]與[[非彈性碰撞]]。彈性碰撞遵守[[動量守恆]]和[[能量守恆]]；非彈性碰撞只遵守動量守恆。莫佩爾蒂可以將最小作用量原理應用於彈性碰撞與非彈性碰撞，正確地計算出碰撞後的物體的速度。

思考一個一維非彈性碰撞，假設兩個質量分別為<math>m_1</math>和<math>m_2</math>的物體O<sub>1</sub>和物體O<sub>2</sub>，分別以初始速度<math>v_1</math>和<math>v_2</math>朝著同一方向移動，而且，<math>v_1>v_2</math>，物體O<sub>1</sub>緊追著物體O<sub>2</sub>。當兩物體發生非彈性碰撞後，結合成為物體O<sub>3</sub>，以終結速度<math>v_3</math>移動。從固定於物體O<sub>3</sub>的參考系觀察，物體O<sub>1</sub>和物體O<sub>2</sub>的速度分別為<math>v_1 - v_3</math>和<math>v_2 - v_3</math>。所以，作用量為
:<math>A=m_1(v_1 - v_3)^2 t+m_2(v_2 - v_3)^2 t</math>；

其中，<math>t</math>是時間。

取作用量對於變數<math>v_3</math>的導數，設定為零，經過一些運算，可以得到
:<math>m_1(v_1 - v_3)+m_2(v_2 - v_3)=0</math>。

所以，最終速度為
:<math>v_3=\frac{m_1 v_1+m_2 v_2}{m_1+m_2} </math>。

請注意，按照這種設定參考系的方法，前面折射問題的光折射作用量應該是
:<math>A=m(v_1 - v_2) \sqrt{x^2 + a^2}</math>。

還有，前面光折射作用量的距離參數是任意值，但是，非彈性碰撞作用量的碰撞前距離參數與碰撞後距離參數被設定為相等。

由於這些不一致之處，促使[[恩斯特·馬赫]]嚴厲批評，莫佩爾蒂的最小作用量原理只是一個模糊不清的概念，勉強地被用來解釋各種不同的物理現象<ref name=Mach1919>{{Citation
  | last = 馬赫
  | first = 恩斯特
  | author-link = 恩斯特·馬赫
  | title =The science of mechanics; a critical and historical account of its development 
  | publisher = Watchmaker Publishing 
  | origyear =1919
  | year = 2010
  | pages =pp. 364-368, 380
  | url = http://www.archive.org/details/scienceofmechan00machuoft
   | isbn = 978-1603863254 }}</ref>。

==歐拉的表述==
1744年，[[萊昂哈德·歐拉]]在論文《尋找具有極大值或極小值性質的曲線，等周問題的最廣義解答》（{{lang|la|''Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici lattissimo sensu accepti''}}）裏，以非常清楚的字句，給出最小作用量原理的定義<ref>Euler, Leonhard, [[s:la:Methodus inveniendi/Additamentum II|Additamentum II]]（[http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E065h external link] {{Wayback|url=http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E065h |date=20121107045803 }}）, ibid.（[[:Wikisource:Methodus inveniendi/Additamentum II|英文翻譯]]）</ref>：

{{quote|設定一個質量為<math>M</math>，速度為<math>v</math>的粒子移動無窮小距離<math>ds</math>。這粒子的動量為<math>M v</math>，當乘以無窮小距離<math>\mathrm{d}s</math>時，會給出<math>M v \,\mathrm{d}s</math>，粒子的動量積分於無窮小距離<math>\mathrm{d}s</math>。現在，我宣明，這移動粒子的真實軌道（在所有連結兩個端點的可能軌道之中）是<math>\int M v \mathrm{d}s</math>為最小值的軌道，或者，假定質量是個常數，是<math>\int  v \,\mathrm{d}s</math>為最小值的軌道。}}

如同歐拉所寫，<math>\int Mv\,\mathrm{d}s</math>是動量積分於移動路徑。採用現代術語，這積分等於[[作用量|簡略作用量]]<math>\int \mathbf{p}\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{q}</math>；其中，<math>\mathbf{p}</math>是[[廣義動量]]，<math>\mathbf{q}</math>是[[廣義坐標]]。因此，在同一年，稍微比莫佩爾蒂晚一點，歐拉獨立地發表了，與莫佩爾蒂的理論等同的，關於[[變分原理]]的理論。歐拉並沒有爭奪優先榮譽。

===直線運動===
假設沒有任何作用力施加於這粒子，則這粒子以均勻速度移動：
:<math>A=\int Mv\,\mathrm{d}s=Mvs</math>。

只有在軌道長度<math>s</math>為最小值時，才能得到作用量最小值。這軌道是一條直線。

===拋物線運動===
假設這移動於二維空間的粒子感受到均勻[[重力]]<math>\mathbf{F}=Mg\hat{\mathbf{y}}</math>，則根據[[活力定律]]（{{lang|en|principle of vis viva}}），
:<math>\frac{1}{2}Mv^2=\frac{1}{2}Mv_0^2+Mgy</math>；

其中，<math>v</math>是瞬時速度，<math>v_0</math>是最初速度，<math>y</math>是粒子朝著y-軸移動的距離，<math>g</math>是加速度常數。

將這方程式代入作用量：
:<math>A=\int Mv\,\mathrm{d}s=\int M\sqrt{v_0^2+2gy}\,\mathrm{d}s
=\int M\sqrt{v_0^2+2gy}\,\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^2}\ dy</math>。

令<math>\delta A=0</math>，求作用量的穩定值，應用[[變分法]]，可以得到[[歐拉-拉格朗日方程式]]：
:<math>\cfrac{\sqrt{v_0^2+2gy}\left(\frac{dx}{dy}\right)}{\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^2}}=k_1 </math>；

其中，<math>k_1</math>是積分常數。

重新編排，可以得到
:<math>\frac{dx}{dy}=\cfrac{k_1}{\sqrt{v_0^2+2gy - k_1^2}}</math>。

將這方程式積分，
:<math>x=\frac{k_1}{g}\sqrt{v_0^2+2gy - k_1^2}+k_2</math>；

其中，<math>k_2</math>是積分常數。

假設粒子的初始位置為<math>(0,0)</math>，初始速度為<math>(0,v_0)</math>，則
:<math>k_1=v_0</math>、
:<math>k_2=0</math>、
:<math>x=\sqrt{\frac{2v_0^2 y }{g}}</math>。

重新編排，可以看出這是[[拋物線]]方程式：
:<math>y=\frac{g}{2v_0^2}\ x^2</math>。

歐拉又將這結果推廣至一群粒子。他認為最小作用原理所以正確，是因為粒子的慣性試著阻抗任何關於狀態的改變，自由粒子會選擇遵循影響最小的作用力<ref name=Dugas/>。

==拉格朗日的表述==
[[約瑟夫·拉格朗日]]對於變分法貢獻良多。拉格朗日在論文《分析力學》（{{lang|fr|''Mecanique Analytique''}}）裏，從[[能量守恆定律]]理論推導出歐拉表述的最小作用量原理是正確的<ref name=Dugas/>。能量守恆定律以方程式表達為
:<math>E=T+V</math>；

其中，<math>E</math>是總[[能量]]，<math>T</math>是[[動能]]，<math>V</math>為[[勢能]]。

勢能的變分為
:<math>\delta V=\nabla V \cdot \delta\mathbf{r}</math> ;

其中，<math>\mathbf{r}</math>是粒子的位置，<math>\delta\mathbf{r}</math>是[[虛位移]]。

粒子感受到的作用力<math>\mathbf{F}</math>為勢能的負[[梯度]]。將[[牛頓第二定律]]帶入方程式，
:<math>\delta V= - \mathbf{F}\cdot \delta\mathbf{r}
= - M\ddot{\mathbf{r}} \cdot \delta\mathbf{r}
= - M\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\dot{\mathbf{r}} \cdot \delta\mathbf{r})+M\dot{\mathbf{r}} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\delta\mathbf{r})</math>。

微分運算可以和變分運算對易：
:<math> \dot{\mathbf{r}} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\delta\mathbf{r})= \dot{\mathbf{r}} \cdot \delta\dot{\mathbf{r}}
=\mathbf{v} \cdot \delta\mathbf{v}=\frac{1}{2}\delta v^2</math>；

其中，<math>\mathbf{v}</math>是粒子的速度。

所以，勢能的變分為
:<math>\delta V= - M\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\dot{\mathbf{r}} \cdot \delta\mathbf{r})+\frac{M}{2}\delta v^2
</math>。

動能的變分為
:<math>\delta T=\frac{M}{2}\delta v^2</math>。

總能量的變分為：
:<math>\delta E=\delta T+\delta V=M\delta v^2 - M\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\dot{\mathbf{r}} \cdot \delta\mathbf{r})
</math>；

總能量的積分的變分為
:<math>\delta\int E\ \mathrm{d}t 
=\int M\delta(v^2)\ \mathrm{d}t - \int M\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\dot{\mathbf{r}} \cdot \delta\mathbf{r})\ \mathrm{d}t
=\delta \int Mv^2\ \mathrm{d}t - M\int \mathrm{d}(\dot{\mathbf{r}} \cdot \delta\mathbf{r})
=\delta \int Mv\ \mathrm{d}s - M\int \mathrm{d}(\dot{\mathbf{r}} \cdot \delta\mathbf{r})
</math>；

其中，<math>\mathrm{d}s </math>是路徑長度。

設定路徑的兩個端點為固定不變，能量也守恆不變，則粒子移動的路徑的作用量是穩定值：
:<math>\delta A=\delta \int Mv\ \mathrm{d}s=0</math>。

===拉格朗日最小作用量原理===
推廣至[[位形空間]]，拉格朗日最小作用量原理闡明，
:<math>\delta A=\delta \int \sum_i p_i \mathrm{d}q_i=0</math>；

其中，<math>p_i</math>是[[廣義動量]]，<math>q_i</math>是[[廣義坐標]]。

===歐拉-拉格朗日最小作用量原理===
拉格朗日又注意到在作用量的方程式<math>A=\int Mv\,\mathrm{d}s</math>中， 
:<math>\mathrm{d}s=v\,\mathrm{d}t</math>。

將這方程式代入作用量，可以看見被積分項目是動能項目：
:<math>A=\int Mv^2\,\mathrm{d}t=\int 2T\,\mathrm{d}t</math>。

因此，作用量也可以表達為（忽略常數乘法因子）
:<math>A=\int_{t_i}^{t_f} 2T\,\mathrm{d}t</math>。

歐拉-拉格朗日最小作用量原理表明，描述粒子運動的作用量必定是穩定值<ref name="Lanczos"/>：
:<math>\delta A=\delta \int_{t_i}^{t_f} 2T\,\mathrm{d}t=0</math>。

請特別注意，這方程式看起來簡易精緻，然而，隱藏在使用方面有很大的問題。歐拉的作用量積分於路徑；而這作用量積分於時間。變分法要求積分域兩端固定不變。雖然路徑兩端是固定值，轉換至時間，為了要滿足能量守恆，時間間隔的兩端可能不是固定值。亞可比因此批評拉格朗日的方法有瑕疵<ref name="Lanczos">{{citation|last=Lanczos|first=Cornelius|title=The Variational Principles of Mechanics| pages= pp. 132-138|publisher=Dovers Publications, Inc |year=1970| isbn = 978-0-486-65067-8}}</ref>。後來，於1816年，[[奧淩迪·若立格]]（{{lang|fr|Olinde Rodrigues}}）想出新點子，將這時間作用量的變分詳細計算出來<ref name=Jourdain/>。

==一般表述==
[[File:Least action principle.svg|250px|thumb|随着系统演化，'''q'''在[[位形空间]]中描绘出一条路径（仅画出部分）。在系统环境（''δ'''''q'''）发生微小变化时，系统走过的路径（红）具有静态作用（''δS'' = 0）。<ref name=penrose>{{cite book |author=R. Penrose| title=[[The Road to Reality]]| publisher= Vintage books| year=2007 | page = 474|isbn=978-0-679-77631-4}}</ref>]]
[[作用量]]记作<math> \mathcal{S} </math>，定义为时刻{{math|''t''<sub>1</sub>}}、{{math|''t''<sub>2</sub>}}之间[[拉格朗日力学|拉格朗日量]]''L''的[[积分]]——是{{mvar|N}}[[广义坐标]]{{math|1='''q''' = (''q''<sub>1</sub>, ''q''<sub>2</sub>, ... , ''q<sub>N</sub>'')}}的[[泛函]]，其中坐标是时间的函数，定义了系统的[[位形空间]]：

<math display="block"> \mathbf{q} : \mathbf{R} \to \mathbf{R}^N </math>
<math display="block"> \mathcal{S}[\mathbf{q}, t_1, t_2] = \int_{t_1}^{t_2} L(\mathbf{q}(t),\mathbf{\dot{q}}(t), t) dt </math>
点表示[[时间导数]]，{{mvar|t}}是时间。

数学原理为<ref>Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), [[Rita G. Lerner|R.G. Lerner]], G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3</ref><ref name="Analytical Mechanics 2008">Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, {{ISBN|978-0-521-57572-0}}</ref>
<math display="block"> \delta \mathcal{S} = 0 ,</math>
其中''δ''是微小变化。换句话说就是：<ref name=penrose/>
{{block indent | em = 1.5 | style=font-style:italic; | text = 系统在时间{{math|''t''<sub>1</sub>}}、{{math|''t''<sub>2</sub>}}及构型q<sub>1</sub>、q<sub>2</sub>之间运动的路径是一阶常（无变化）作用的路径。}}
常作用并不总是最小作用。<ref>{{cite encyclopedia |last1=Goodman |first1=Bernard |title=Action |date=1993|encyclopedia=McGraw-Hill Encyclopaedia of Physics |publisher=McGraw-Hill |location=New York |editor=Parker, S. P.|isbn=0-07-051400-3|page=22 |edition=2nd |url=https://archive.org/details/mcgrawhillencycl1993park/page/22/mode/2up}}</ref><ref name=":0" />{{rp|19-6}}它是有限维系统路径中足够短的有限段的最小原则。<ref name="Stehle"/>

在应用中，作用的陈述与定义结合在一起：<ref>Classical Mechanics, T.W.B. Kibble, European Physics Series, McGraw-Hill (UK), 1973, {{ISBN|0-07-084018-0}}</ref>
<math display="block"> \delta \int_{t_1}^{t_2} L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}},t) dt = 0 .</math>

作用与拉格朗日量都包含了系统在所有时间的动力特性。“路径”是指系统在[[位形空间]]中画出的曲线，即以时间为参数的曲线{{math|'''q'''(''t'')}}（关于这一概念，另见[[参数方程]]）。

==进一步发展==

===拉格朗日与哈密顿===
{{Main|哈密顿原理}}
[[约瑟夫·拉格朗日]]于1760年<ref>{{cite book|editor=D. J. Struik|title=A Source Book in Mathematics, 1200–1800|publisher=MIT Press|location=Cambridge, Mass|year=1969}} pp. 406–413</ref><ref>{{cite book|last=Kline|first=Morris|title=Mathematical Thought from Ancient to Modern Times|url=https://archive.org/details/mathematicalthou0000unse | url-access=registration|publisher=Oxford University Press|location=New York|year=1972 | isbn=0-19-501496-0}} pp. 582-589</ref>提出了变分法的大部分内容，并将其应用于动力学问题。在《动力分析》（1788）中，拉格朗日推导出了机械体的[[拉格朗日力学|一般运动方程]]。<ref>{{cite book|last=Lagrange|first=Joseph-Louis|title=Mécanique Analytique|year=1788}} p. 226</ref>[[威廉·哈密顿]]在1834、1835年<ref>W. R. Hamilton, "On a General Method in Dynamics", ''Philosophical Transactions of the Royal Society'' [http://www.emis.de/classics/Hamilton/GenMeth.pdf Part I (1834) p.247-308] {{Wayback|url=http://www.emis.de/classics/Hamilton/GenMeth.pdf |date=20110927061858 }}; [http://www.emis.de/classics/Hamilton/SecEssay.pdf Part II (1835) p. 95-144] {{Wayback|url=http://www.emis.de/classics/Hamilton/SecEssay.pdf |date=20110927062010 }}. (''From the collection [http://www.emis.de/classics/Hamilton/ Sir William Rowan Hamilton (1805–1865): Mathematical Papers] {{Wayback|url=http://www.emis.de/classics/Hamilton/ |date=20110927062025 }} edited by David R. Wilkins, School of Mathematics, Trinity College, Dublin 2, Ireland. (2000); also reviewed as [http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Dynamics/ On a General Method in Dynamics] {{Wayback|url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Dynamics/ |date=20110927004206 }}'')</ref>将变分法应用于经典拉格朗日[[函数]]<math display="block">L = T - V</math>得到了目前形式的[[欧拉-拉格朗日方程]]。

===雅可比、莫尔斯和卡拉西奥多里===
[[卡尔·雅可比]]于1842年解决了变分法是否总能找到最小值而非其他[[驻点]]（最大值或[[鞍点]]）的问题，他的大部分工作集中于二维曲面的[[测地线]]上。<ref>G.C.J. Jacobi, ''Vorlesungen über Dynamik, gehalten an der Universität Königsberg im Wintersemester 1842–1843''. A. Clebsch (ed.) (1866); Reimer; Berlin. 290 pages, available online [http://math-doc.ujf-grenoble.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_JACOBI__8_1_0  Œuvres complètes volume '''8'''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20071122083808/http://math-doc.ujf-grenoble.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_JACOBI__8_1_0 |date=2007-11-22 }} at [http://math-doc.ujf-grenoble.fr/OEUVRES/ Gallica-Math] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20081123234823/http://math-doc.ujf-grenoble.fr/OEUVRES/ |date=2008-11-23 }} from the [http://gallica.bnf.fr/ Gallica Bibliothèque nationale de France] {{Wayback|url=http://gallica.bnf.fr/ |date=20161218172021 }}.</ref>[[马斯顿·莫尔斯]]在1920年代到30年代首次给出了明确的一般性陈述，<ref>Marston Morse (1934). "The Calculus of Variations in the Large", ''American Mathematical Society Colloquium Publication'' '''18'''; New York.</ref>形成了[[莫尔斯理论]]。例如，莫尔斯证明了轨迹中[[共轭点]]数等于拉格朗日二次变分中负特征值的数量。[[康斯坦丁·卡拉西奥多里]]对欧拉-拉格朗日方程进行了非常优雅的推导，发表于1935年。

===高斯与赫兹===
其他[[经典力学]]的极值原理有[[高斯最小约束原理]]及其推论——[[赫兹最小曲率原理]]。

===达朗贝尔===
对于具有非完整约束的系统，哈密顿原理被[[达朗贝尔原理]]代替。这时，作用量<math>\mathcal{S}[\mathbf{q}, t_1, t_2] </math>被强加为只在符合约束的变化<math>\delta \mathbf{q}(t)</math>时静止。

==表觀目的論==
微分運動方程式數學等價於其對應的積分運動方程式，這具有很重要的[[哲學]]意義。微分方程式描述局部於空間的一點或單獨時間的片刻。舉例而言，[[牛頓第二定律]]<math>\mathbf{F}=m\mathbf{a}</math>解釋為瞬時作用力<math>\mathbf{F}</math>施加於質量為<math>m</math>的粒子會造成瞬時加速度為<math>\mathbf{a}</math>的運動。明顯對比地，作用量原理不會局部於一點，而牽涉到積分於一段時間間隔或一個空間的局域。更重要地，通常在經典作用量原理的表述裏，系統的初始狀態和終結狀態是固定不變的，也就是說，
:''設定一個移動粒子開始於位置<math>x_1</math>、時間<math>t_1</math>，結束於位置<math>x_2</math>、時間<math>t_2</math>，連接這兩個端點的物理軌道是作用量積分的平穩值。''

特別地針對這程序，終結狀態的固定動作似乎額外地賦予了作用量原理一些[[目的論]]的特色。在[[物理學史]]裏，這特色不經意地製造出很多激烈的爭論。

==參閱==
* [[變分法]]
* [[活力 (物理)]]（{{lang|en|vis viva}}）
* [[高斯最小約束原理]]（{{lang|en|Gauss' principle of least constraint}}）
* [[赫茲最小曲率原理]]（{{lang|en|Hertz's principle of least curvature}}）
* [[雅可比原理]]（{{lang|en|Jacobi's principle}}）

==參考文獻==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:Z}}
{{經典力學}}
[[Category:基本物理概念]]
[[Category:變分法]]
[[Category:經典力學]]
[[Category:科学定律]]