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[[File:Illustration of supremum.svg|thumb|300px|任意的有界非空实数集都有一个最小上界。]]

[[数学]]中，'''最小上界性'''（亦称'''上确界性'''，{{lang-en|least-upper bound property, LUB}}）<ref>Bartle and Sherbert (2011) define the "completeness property" and say that it is also called the "supremum property". (p. 39)</ref> 是[[实数集]]和其他一些有序集的基础属性，与[[实数完备性|实数的完备性]]等价<ref>Willard says that an ordered space "X is Dedekind complete if every subset of X having an upper bound has a least upper bound." (pp. 124-5, Problem 17E.)</ref>
。  集合{{math|''X''}}具有最小上界性[[当且仅当]]{{math|''X''}}的任意具有[[上界]]的非空[[子集]]有[[最小上界]] (上确界)。

== 性質概述 ==
=== 實數 ===
令<math>S</math>為[[實數集]]的一個非空子集。
* 如果實數<math>x</math>大於或等於所有<math>S</math>中的元素，則<math>x</math>稱為<math>S</math>的'''[[上界]]'''。
* 如果實數<math>x</math>是<math>S</math>的上界，并且<math>x</math>小於或等於所有<math>S</math>的上界，則<math>x</math>稱為<math>S</math>的'''最小上界'''。

'''最小上界性'''的表述為
: 所有具有上界的非空實數集都有最小上界，且最小上界為實數。

=== 一般序集合 ===
對任意[[偏序集合]]<math>X</math>，我們都可以定義<math>X</math>的子集的上界和最小上界，只需把前一段落的「實數」改為「<math>X</math>的元素」即可。

此處最小上界性的表述為
: 所有具有上界的<math>X</math>的非空子集都有最小上界<math>x</math>，并滿足<math>x \in X</math>。

[[有理數集]]并沒有最小上界性，考慮其子集
: <math>\{x \in \mathbb{Q}| x^2 < 2\} = \mathbb{Q} \cap (-\sqrt{2}, \sqrt{2})</math>
它有在有理數集中的上界（例如2），但它的最小上界<math>\sqrt{2}</math>不在有理數集中。

== 證明 ==


== 應用 ==
最小上界性可以用來證明許多[[實分析]]中的主要定理

=== 中間值定理 ===
=== 波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理 ===
=== 極值定理 ===
=== 海涅-博雷爾定理 ===

==参考文献==
{{reflist}}

[[Category:数学术语]]
[[Category:公理]]
[[Category:数学定理]]