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{{Merge|最大下界|discuss=Talk:最小上界#請求與最大下界合併|time=2022-02-20T00:44:34+00:00}}
[[File:Supremum illustration.png|thumb|right|300px|实数集合 ''A''（蓝色球），''A'' 的上界集合（红色球），和 ''A'' 的最小上界也就是上确界（红色菱形）。]]
'''最小上界'''，亦称'''上确界'''（{{lang-en|Supremum}}，记为sup S）是[[数学]]中[[序理论]]的一个重要概念，在[[格 (数学)|格论]]和[[数学分析]]等领域有广泛应用。

== 定义 ==
给定[[偏序集合]](T,≤)，对于S⊆T，S的'''上确界'''sup(S)定义为S的所有[[上界]]组成的集合的最小元（若有）。即sup(S)满足：
* ∀s∈S ⇒ s≤sup(S)
* ∀t∈T，若t满足∀s∈S ⇒ s≤t，则有sup(S)≤t。
* sup(S)∈T。
上确界也被称为'''最小上界'''、'''lub''' 或 '''LUB'''，在[[格 (数学)|格论]]中也被称为[[并运算|并]]，在[[序理论]]中S的上确界也被记为<math>\vee</math>S。

* 若S包含[[最大元|最大元素]]，则该元素就是上确界。
* 若S有上确界，则上确界是唯一的。
* 上确界的[[对偶性 (序理论)|对偶]]概念[[最大下界]]叫做[[下确界]]或[[交运算|交]]。
* 偏序集合的子集可能没有上确界，即使它有上界。
* 上确界一定不能混淆于[[极小元|极小]]，[[上界]]，[[极大元]]或[[最大元]]。

== 数学分析中的上确界 ==
在[[数学分析]]中，[[实数]]的集合S的'''上确界'''或'''最小上界'''记为 sup(''S'')，并被定义为大于或等于 ''S'' 中所有成员的最小实数。实数的一个重要性质是它的[[完备空间|完备性]]：实数集合的所有[[非空集合|非空]]子集是有上界的就是这个实数集合成员的上确界。

=== 例子 ===

:<math>\sup \{ 1, 2, 3 \} = 3\,</math>

:<math>\sup \{ x \in \mathbb{R} : 0 < x < 1 \}  =  \sup \{ x \in \mathbb{R} : 0 \leq x  \leq 1 \} = 1\,</math>

:<math>\sup \{ (-1)^n - \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N} \} = 1\,</math>

:<math>\sup \{ a + b : a \in A \mbox{ and } b \in B\} = \sup(A) + \sup(B)\,</math>

:<math>\sup \{ x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2 \} = \sqrt{2}\,</math>

这个[[有理数]]的集合的上确界是个[[无理数]]，这意味着有理数是[[完备空间|不完备]]的。

此外，如果我们定义在 ''S'' 是空集的时候 sup(''S'') = −∞ 和在 ''S'' 没有上界的时候 sup(''S'') = +∞ ，则实数的所有集合都在[[扩展的实数轴]]上有上确界。

:<math>\sup \mathbb{Z} = \infty\,</math>

:<math>\sup \varnothing = -\infty\,</math>

如果上确界属于这个集合，则它是这个集合的[[最大元|最大元素]]。术语[[极大元]]在处理实数或任何其他[[全序集合]]的时候是同义的。

要证明 ''a'' = sup(''S'')，必须证明 ''a'' 是 ''S'' 的上界并且 ''S'' 的任何其他上界大于 ''a''；等价地，也可以证明 ''a'' 是 ''S'' 的上界并且小于 ''a'' 的任何数都不是 ''S'' 的上界。

== 参考文献 ==
; 引用
{{Reflist}}

== 外部链接 ==
* [http://planetmath.org/encyclopedia/Supremum.html supremum] {{Wayback|url=http://planetmath.org/encyclopedia/Supremum.html |date=20070927214153 }} (''PlanetMath'')

== 参见 ==

* [[偏序集]]
* [[上界]]
* [[最小元]]
* [[最大下界]]
* [[本性上确界]]
*

[[Category:序理论|Z]]