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[[File:Maximum modulus principle.png|right|thumb|复变函数cos(''z'')的模的图像（红色），其中 ''z'' 在[[单位圆|单位原盘]]（蓝色）取值。最大模原理表明：函数的模的最大值不能在圆盘内部取得（因此红色曲面的最高处在边缘上）。]]
在[[复分析]]中，'''最大模原理'''说明，如果 ''f'' 是一个[[全纯函数]]且不是常数，那么它的[[绝对值|模]]<math>|f|</math>在定义域内取不到局部最大值。

换句话说，全纯函数 ''f'' 要么是[[常数|常数函数]]，要么对于其定义域之内的任意点 ''z''<sub>0</sub>，都存在任意靠近它的点 ''z''，使得<math>|f(z)|>|f(z_0)|</math>。

==正规陈述==
设复值函数 ''f'' 在[[复平面]] '''C''' 的[[连通空间|连通]][[开集|开子集]] ''D'' 上全纯。如果存在<math>z_0\in D</math>，使得对''z''<sub>0</sub>的某个邻域上的任意点 ''z'' 都有<math>|f(z_0)|\ge |f(z)|</math>（即<math>z_0</math>是模的局部最大值点），那么函数 ''f'' 是 ''D'' 上的常数函数。

通过取[[倒数]]，可以得到等价的'''最小模原理'''：设f在有界区域D的内部全纯，并连续到D的边界上，而且没有零点，则|f(z)|的最小值在D的边界上取得。

另外，最大模原理可视为[[开映射定理 (复分析)|开映射定理]]的特殊情况，即非常数的全纯函数把开集映为开集。若|f|在点z处取得极大值，则z的一个充分小的开邻域的像不可能是开的。因此，f是常数。

== 证明概要 ==

=== 利用调和函数的最大值原理 ===
用复变量[[自然對數|自然对数]]的等式

<math>\log{f(z)}=\ln{|f(z)|}+i\arg{f(z)}</math>

:

推导出<math>|f(z)|</math>是[[调和函数]]。由于 ''z''<sub>0</sub> 是这个函数的一个极大值，根据[[最大值原理]]，<math>|f(z)|</math>在定义域上是常数。因此，运用[[柯西-黎曼方程]]可以得到<math>f'(z)=0</math>，于是''f''(''z'') 是常数函数。通过类似的论证可以得到，|f|的极小值只能在f(z)的孤立零点处取得。 

== 物理解释 ==
用[[熱傳導方程式|热传导方程]]可以给出这个原理的一个物理解释。由于<math>\log{|f(z)|}</math>是调和函数，所以可以看作是区域D上的稳定态热流。假设区域D的内部取得严格最大值，则这一最大值点的热量会向周围传导，这与稳定态是相互矛盾的。

== 应用 ==
最大模原理在复分析中有许多应用，可以用来证明：
*[[代数基本定理]]，使用最大模原理的证明是一个基本的复分析的证明，可以在很多复分析教材中看到。
*[[施瓦茨引理]]，在复分析中有许多推广和应用。
* 其推广是[[弗拉格门-林德洛夫原理]]，将结果推广到定义域无界的函数。
*[[博雷尔-卡拉西奥多里定理]]

==参考来源==
* [[E.C. Titchmarsh]]，''The Theory of Functions (2nd Ed)'' (1939) Oxford University Press. ''(See chapter 5.)''
* {{springer|author=E.D. Solomentsev|title=Maximum-modulus principle|id=m/m063110}}

== 外部链接==
* {{MathWorld | urlname= MaximumModulusPrinciple | title= Maximum Modulus Principle}}
* [https://web.archive.org/web/20061209233645/http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/LiouvilleMoreraGaussMod.html The Maximum Modulus Principle by John H. Mathews]

[[Category:数学原理]]
[[Category:复分析定理]]

[[de:Maximumprinzip (Mathematik)]]