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{{Merge|最小上界|discuss=Talk:最小上界#請求與最大下界合併|time=2022-02-20T00:44:35+00:00}}
在[[数学]]中，某个集合 ''X'' 的[[子集]] ''E'' 的'''下确界'''({{lang-en|infimum}} 或 {{lang|en|infima}}，记为 inf ''E'' )是小于或等于的 ''E'' 所有其他元素的[[最大元|最大元素]]，其不一定在 ''E'' 內。所以还常用术语'''最大下界'''（简写为 '''glb''' 或 '''GLB'''）。在[[数学分析]]中，[[实数]]的下确界是非常重要的常见特殊情况。但這個定义，在更加抽象的[[序理论]]的任意[[偏序集合]]中，仍是有效的。 

下确界是[[上确界]]概念的[[对偶 (数学)|对偶]]。

== 实数集合的下确界 ==

在[[数学分析]]中，[[实数]]的子集 ''S'' 的'''下确界'''或'''最大下界'''記为 inf(''S'')，定义为小于等于在 ''S'' 中的所有数的最大实数。如果没有这样的数存在（因为 ''S'' 没有下界），则我们定义 inf(''S'') = &minus;∞。如果 ''S'' 是[[空集]]，我们定义 inf(''S'') = ∞（参见[[扩展的实数轴]]）。 

实数的一个重要性质是，任何實數集都有下确界（实数的任何有界非空子集都在非扩展的实数轴中有下确界）。 

例子：
:<math>\inf \{1, 2, 3\} = 1.</math>
:<math>\inf \{ x \in \mathbb{R} : 0 < x < 1 \}  =  0.</math>
:<math>\inf \{ x \in \mathbb{R} : x^3 > 2 \} = 2^{1/3}.</math>
:<math>\inf \{ (-1)^n + 1/n : n = 1, 2, 3, \dots \} = -1.</math>
如果一个集合有最小元素，如同第一个例子，则这个最小元素就是这个集合的下确界。如后三个例子展示的，一个集合的下确界不一定属于这个集合。

下确界的概念和上确界在下列意义下是对偶的
:<math>\inf(S) = -\sup(-S)</math>，
这里 <math>-S = \{ -s | s \in S \}</math>。

一般的说，为了证明 inf(''S'') ≥ ''A''，只需要证明对于所有 ''S'' 中的 ''x'' 有 ''x'' ≥ ''A''。证明 inf(''S'') ≤ ''A'' ，則需：对于任何 ε > 0，都存在 ''S'' 中的一个元素 ''x'' 使得 ''x'' ≤ ''A'' + ε（当然，如果 ''S'' 有一个元素 ''x'' 使 ''x'' ≤ ''A''，命題立即成立）。

参见：[[下极限]]。

== 在偏序集合内的下确界 ==

下确界的定义容易推广到任何[[偏序集合]]的子集上，并在[[序理论]]中有重要意義。在序理论，特别是[[格 (数学)|格理论]]中，最大下界也叫做'''[[交运算|交]]'''（{{Lang-en|meet}})。

形式的说，偏序集合（''P''，≤）的子集 ''S'' 的下确界是 ''P'' 的一个元素 ''l'' 使得 
# 对于所有 ''S'' 中的 ''x'' 有 ''l'' ≤ ''x''，
# 对于任何 ''P'' 中的 ''p''，如果对于所有 ''S'' 中的 ''x'' 都有 ''p'' ≤ ''x,'' 则 ''p'' ≤ ''l''。

如果這樣的元素存在，則其必然唯一，但是它不一定存在。因此已知特定下确界存在的序就特别有价值。详情请参见{{Link-en|完備性|Completeness (order theory)}}。

== 外部链接 ==
* [http://planetmath.org/encyclopedia/Infimum.html infimum] {{Wayback|url=http://planetmath.org/encyclopedia/Infimum.html |date=20160307084423 }} (''PlanetMath'')

== 参见 ==

* [[偏序集]]
* [[下界]]
* [[最大元]] 
* [[完全格]]
* [[最小上界]]
* [[本性下确界]]

[[Category:序理论|Z]]