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{{微积分学}}
[[数学]]上，'''曲面积分'''，也称为'''面积分'''（{{lang-en|Surface integral}}），是在[[曲面]]上的[[定积分]]（曲面可以是[[空间]]中的弯曲[[子集]]）；它可以视为和[[线积分]]相似的[[双重积分]]。给定一个曲面，可以在上面对[[标量场]]（也就是實数值的[[函数]]）进行积分，也可以对[[向量场]]（也就是[[向量]]值的函数）积分。

面积分在[[物理]]中有大量应用，特别是在[[电磁学]]的[[經典物理學]]中。
[[File:Surface integral illustration.svg|right|thumb|面积分的定义依赖于将曲面细分成小的面积元。]]
[[File:Surface integral1.svg|right|thumb|单个面积元的图示。这些面积元通过极限过程成为无穷小的元素以逼近曲面。]]

== 标量场的面积分 ==
考虑定义在曲面''S''上的[[实函数|實函數]] <math>f</math>，计算面积分的一个办法是将曲面分割成很多小片，假设函數 <math>f</math> 在每小片的變化不大，且每個小片的近似計算的面積跟實際面積誤差不大，任意取每片中函數 <math>f</math> 的值，然后乘以小片的近似面积，最后全部加起来得到一個值，當這種分割越來越細時，如果這值趨近一個實數，我們稱這个實數為實數值函數 <math>f</math> 在曲面 <math>S</math> 上的面積分。

要找到面积分的直接公式，首先需要[[坐标系|参数化]]曲面''S''，也即在''S''上建立[[坐標系|坐标系]]，就像[[球面]]上的[[经纬度]]。令参数化为'''x'''(''s'', ''t'')，其中(''s'', ''t'')在某个[[笛卡尔坐标系#二维坐标系|平面]]上的区域''T''中变化。则 <math>f</math> 在曲面 <math>S</math> 的面积分为

:<math>
\iint_S f \,\mathrm{d}S 
= \iint_T f(\mathbf{x}(s, t)) \left|\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial s}\times \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}\right| \mathrm{d}s\, \mathrm{d}t
</math>
其中 <math>\textstyle \left|\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial s}\times \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}\right|</math> 是'''x'''(''s'', ''t'')的[[偏导数]]的[[叉积|外積]]這向量的長度，而 <math>\textstyle \left|\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial s}\times \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}\right|\mathrm{d}s\mathrm{d}t</math> 在微分幾何裡又叫作流形 <math>S</math> 的面積元素（Surface element）。

例如，如果要找出某个函数（<math>z=f\,(x,y)</math>）形状的曲面面积，就有
:<math>
A = \iint_S \,\mathrm{d}S 
= \iint_T \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y}\right| \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y
</math>
其中<math>\mathbf{r}=(x, y, z)=(x, y, f(x,y))</math>。所以，<math>\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x}=(1, 0, f_x(x,y))</math>，且<math>\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y}=(0, 1, f_y(x,y))</math>。因此
:<math>\begin{align}
A
&{} = \iint_T \left\|\left(1, 0, {\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0, 1, {\partial f \over \partial y}\right)\right\| \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y \\
&{} = \iint_T \left\|\left(-{\partial f \over \partial x}, -{\partial f \over \partial y}, 1\right)\right\| \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y \\
&{} = \iint_T \sqrt{\left({\partial f \over \partial x}\right)^2+\left({\partial f \over \partial y}\right)^2+1}\, \,  \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y
\end{align}</math>
这就是一般以 <math>(x,y,f(x,y))</math> 為參數的曲面其面积的標準公式。很容易认出第二行中的向量是曲面的[[法向量]]。

注意，因为外积的存在，這裡的公式只在曲面嵌入在三维空间中时适用。

==向量场的面积分==<!-- This section is linked from [[Flux]] -->
[[File:Surface vectors.png|right|thumb|300px|曲面上的向量场。]]
考虑''S''上的向量场'''v'''，对于每个''S''上的点'''x'''，'''v'''('''x''')是一个向量。想象一个穿过''S''的液体流，使得'''v'''('''x''')决定液体在'''x'''的速度。则[[流量]]定义为单位时间穿过''S''的液体量。

这个解释意味着如果向量场和''S''在每点[[相切]]，则流量为0，因为液体[[平行]]于''S''流动，从而不进不出。这也意味着如果'''v'''不仅仅沿着''S''流动，也即，如果'''v'''既有[[切向分量]]也有[[法向分量]]，则只有法向分量对流量作出贡献。基于这个推理，要找出流量，我们必须取'''v'''和''S''上每点的单位[[法向量]]的[[点积]]，这就给出了一个标量场，然后就可以用上述方式积分。公式如下

:<math>\int_S {\mathbf v}\cdot \,\mathrm{d}{\mathbf {S}} = \int_S ({\mathbf v}\cdot {\mathbf n})\,\mathrm{d}S=\iint_T {\mathbf v}(\mathbf{x}(s, t))\cdot \left({\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}\right) \mathrm{d}s\, \mathrm{d}t.</math>

右手边的叉积是由参数化所决定的法向量。

该公式''定义''为向量场'''v'''在''S''上的面积分。

== 微分2-形式的面积分 ==

令
:<math> \omega= f_{x} \mathrm{d}y  \wedge \mathrm{d}z + f_{y} \mathrm{d}z  \wedge \mathrm{d}x+f_{z} \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y </math>
为定义在曲面''S''上的2阶[[微分形式]]，并令

:<math>\mathbf{x} (s,t)=( x(s,t), y(s,t), z(s,t))\!</math> 

为一[[可定向性|保定向]]的在曲面 <math>S</math> 上的参数化，其中<math>(s,t) \in D\subseteq \mathbb{R}^2</math>。利用變數變換，则 <math>\omega</math> 在''S''上的面积分變成

:<math>\iint_D \left[ f_{x} ( \mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(y,z)}{\partial(s,t)} + f_{y} ( \mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(z,x)}{\partial(s,t)}+ f_{z}(\mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)} \right]\, \mathrm{d}s \mathrm{d}t</math>

其中
:<math>{\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}=\left(\frac{\partial(y,z)}{\partial(s,t)}, \frac{\partial(z,x)}{\partial(s,t)}, \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t))}\right)</math>
为''S''的法向量。利用微分形式（2-form）的變數變換，我們有

:<math>\int_S \omega=\iint_S (f_x, f_y, f_z)\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\iint_S (f_x, f_y, f_z)\cdot \mathbf{n}\, \mathrm{d}S</math>


也就是說，對 <math>\omega</math> 該2-形式的积分和以<math>f_x</math>、<math>f_y</math>和<math>f_z.</math>为分量的向量场的面积分相同。

== 涉及面积分的定理 ==

面积分中很多有用的结果可以用[[微分几何]]和[[向量微积分]]导出，例如[[散度定理]]及其推广[[斯托克斯定理]]。

== 进阶问题 ==

注意面积分的定义中用到曲面''S''的参数化。而给定曲面可以有多种参数化。例如，如果移动球面上南极和北极的位置，所有球面上的点的经度和纬度都会改变。很自然就有面积分是否依赖于给定参数化的问题。对于标量场的积分，答案很简单：无论参数化为何，面积分不变。

对于向量场，情况复杂一些，因为積分時涉及到曲面的法向量。如果两个参数化下法向量的定向相同，则积分值不变。如果法向量定向相反，则积分值相反。因此，不需要規定特定的参数化，但是对于法向量，不同的参数化的定向必须保持一致。

另外一个问题是，有时曲面没有覆盖整个曲面的单一参数化；譬如对于有限长的[[圆柱面]]就是这样。一个直接的解决办法就是将曲面切成几片，在每一片上求面积分，然后加起来。这就是正确的办法，但是对向量场积分的时候，必须小心，要让每个小片的法向量定向和周围的一致。对于柱面来讲，也就是让所有片的法向量向外指。

最后一个问题是，有些曲面没有一个一致的法向量（譬如[[莫比乌斯带]]）。对于这样的曲面，无法找到一致的定向。这样的曲面称为[[可定向性|不可定向的]]，在其上无法进行向量场的积分。

== 参看 ==
* [[散度定理]]
* [[斯托克斯定理]]
* [[体积分]]
* [[不同坐标系下的体积和面积元]]

== 参考 ==
* Leathem, J. G. Volume and Surface Integrals Used in Physics. Cambridge, England: University Press, 1905

== 外部链接 ==

* [http://mathworld.wolfram.com/SurfaceIntegral.html 曲面积分 -- MathWorld] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/SurfaceIntegral.html |date=20080924022836 }}
* [http://www.math.gatech.edu/%7Ecain/notes/cal15.pdf 曲面积分 -- 理论和习题] {{Wayback|url=http://www.math.gatech.edu/%7Ecain/notes/cal15.pdf |date=20080512153525 }}

[[Category:向量分析]]
[[Category:积分学]]