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[[數學]]上，'''曲面上的曲線的systolic不等式'''，最初是[[查爾斯·婁威納]]在1949年研究（未發表，見[[蒲保明]]1952年的論文末尾的註解。給定一個[[閉曲面]]，其[[Systolic幾何|systole]]記為'''sys'''，定義為曲面上不能縮成一點的環路的最短長度。一個度量的'''systolic面積'''，定義為比例area/sys<sup>2</sup>，'''systolic比'''SR是其倒數sys<sup>2</sup>/area。

==環面==
[[Image:TorusSystoleLoop.png|right|thumb|200px|環面上最短的環路]]
1949年婁威納證明了[[環面]]T<sup>2</sup>上的度量的[[婁威納環面不等式|不等式]]，即是其systolic比SR(T<sup>2</sup>) 有上界<math>2/\sqrt{3}</math>，於環面為平坦（常曲率）的等邊環面時等號成立。

==實射影平面==
[[蒲保明]]於1952年給出對實射影平面的類似結果，是為[[蒲氏不等式]]，證明其systolic比SR(RP<sup>2</sup>)有上界π/2，也是在常曲率時達到上界。

==克萊因瓶==
[[Image:Acme klein bottle.jpg|thumb|150px|right|手工吹製的模擬克萊因瓶]]
對於[[克萊因瓶]]''K''，Bavard(1986)獲得了systolic比的最佳上界<math> \pi/\sqrt{8}</math>：

:<math>\mathrm{SR}(K) \leq  \frac{\pi}{\sqrt{8}},</math>

使用了Blatter在1960年代的工作。

==虧格2==
虧格2的[[可定向]]曲面適合婁威納的上界<math>\mathrm{SR}(2)\leq \tfrac{2}{\sqrt{3}}</math>(Katz-Sabourau '06)。現在尚未知道正虧格的曲面是否都適合此上界，有猜想指這些曲面都適合。在虧格不小於20時已得到證明(Katz-Sabourau '05)。

==任意虧格==
對虧格''g''的閉曲面，Hebda和Burago(1980)證明了systolic比SR(''g'')有上界2。三年後[[米哈伊爾·格羅莫夫]]找到SR(''g'')的一個上界， 是一個常數乘以

:<math>\frac{(\log g)^2}{g}.</math>

一個「較小」的界（帶一個較小的常數）由Buser和Sarnak給出。他們證明了算術雙曲黎曼曲面的systole表現為一個常數乘以<math>\log (g)</math>。注意從[[高斯－博內定理]]給出面積是4π(''g''-1)，所以SR(''g'')漸近表現為一個常數乘以<math>\tfrac{(\log g)^2}{g}</math>。

==參見==
*[[曲面的微分幾何]]

==參考==
*{{cite journal |last=Bavard |first=C. |script-title=fr:Inégalité isosystolique pour la bouteille de Klein |url=https://archive.org/details/sim_mathematische-annalen_1986-07_274_3/page/439 |journal=[[Mathematische Annalen|Math. Ann.]] |volume=274 |year=1986 |issue=3 |pages=439–441 |doi=10.1007/BF01457227 }}
*{{cite journal |last=Buser |first=P. |last2=[[Peter Sarnak|Sarnak]] |first2=P. |title=On the period matrix of a Riemann surface of large genus (With an appendix by J. H. Conway and N. J. A. Sloane) |url=https://archive.org/details/sim_inventiones-mathematicae_1994-05_117_1/page/27 |journal=[[Inventiones Mathematicae]] |volume=117 |year=1994 |issue=1 |pages=27–56 |doi=10.1007/BF01232233 }}
*{{cite journal |last=Gromov |first=M. |title=Filling Riemannian manifolds |journal=[[Journal of Differential Geometry|J. Diff. Geom.]] |volume=18 |year=1983 |issue=1 |pages=1–147 |mr=697984 }}
*{{cite journal |last=Hebda |first=J. |title=Some lower bounds for the area of surfaces |journal=Invent. Math. |volume=65 |year=1981/82 |issue=3 |pages=485–490 |doi=10.1007/BF01396632 }}
*{{Cite book | last1=[[Mikhail Katz|Katz]] | first1=Mikhail G. | title=Systolic geometry and topology | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=Mathematical Surveys and Monographs | isbn=978-0-8218-4177-8 | year=2007 | volume=137 | author=}}
*{{cite journal |last=Katz |first=M. |last2=Sabourau |first2=S. |title=Entropy of systolically extremal surfaces and asymptotic bounds |journal=Ergo. Th. Dynam. Sys. |volume=25 |year=2005 |issue= 4|pages=1209–1220 |doi=10.1017/S0143385704001014 }}
*{{cite journal |last=Katz |first=M. |last2=Sabourau |first2=S. |title=Hyperelliptic surfaces are Loewner |journal=[[Proceedings of the American Mathematical Society|Proc. Amer. Math. Soc.]] |volume=134 |year=2006 |issue=4 |pages=1189–1195 |arxiv=math.DG/0407009 |doi=10.1090/S0002-9939-05-08057-3  }}
*{{cite journal |last=Katz |first=M. |last2=Schaps |first2=M. |last3=Vishne |first3=U. |title=Logarithmic growth of systole of arithmetic Riemann surfaces along congruence subgroups |journal=J. Differential Geom. |volume=76 |year=2007 |issue=3 |pages=399–422 |arxiv=math.DG/0505007  }}
*{{cite journal |last=Pu |first=P. M. |title=Some inequalities in certain nonorientable Riemannian manifolds |journal=[[Pacific Journal of Mathematics|Pacific J. Math.]] |volume=2 |year=1952 |pages=55–71 |mr=0048886 }}

[[分類:曲面的微分幾何]]