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[[File:平抛运动.jpg|缩略图|平抛运动]]
'''曲线运动'''是指[[运动轨迹]]为[[曲线]]的运动。当物体运动的[[速度]]与其所受到的[[合外力]]不在同一直线上的时候，物体便做曲线运动。典型的曲线运动有：[[平抛运动]]、[[斜抛运动]]、[[圓周運動|圆周运动]]等。

==速度的方向==
[[File:曲线运动的速度方向与大小.jpg|缩略图]]
如图，设质点沿所示曲线运动，在某一时刻质点位于<math>P</math>点，经过<math>\Delta t</math>时间后，质点移动到<math>Q</math>点，它的位移为<math>\Delta s</math>则质点在这段时间内的平均速度为<math>v=\frac{\Delta s}{\Delta t}</math>。<ref name="gaomiao1">{{cite book|title=更高更妙的物理|url=https://archive.org/details/genggaogengmiaod0000shen|author=沈晨|publisher=浙江大学出版社|edition=第四版|date=2012年5月|ISBN=978-7-308-04609-1|page=P37|language=zh-hans}}</ref>当<math>\Delta t</math>趋近于0时，则<math>Q</math>点趋近于<math>P</math>点，<math>\Delta s</math>的方向就趋近于路径上<math>P</math>点的方向，由即时速度的定义可知：<math>P</math>点的切线方向，就是质点在<math>P</math>的即时速度方向。由此得出：在曲线运动中，质点在某点的速度的方向就是该点的切线方向（指向前进一侧）。

曲线运动是变速运动，速度的[[速率|大小]]和方向都在变化。做曲线运动的物体的[[瞬时速度]]定义为：

<math>v=\frac{ds}{dt}</math>

方向是该点轨迹的[[切线]]方向。<ref name="gaomiao1"//>

物体的瞬时[[加速度]]定义为：

<math>a=\frac{dv}{dt}</math>

因为速度方向随时间变化，所以做曲线运动的物体，加速度和速度一定不在同一直线上。当速度和加速度在同一直线上时，物体做[[直线运动]]；当速度和加速度[[垂直]]时，物体做[[匀速圆周运动]]。<ref name=gaomiao1/>

下面讨论两种常见的曲线运动：平抛运动与匀速圆周运动。

== 平抛运动 ==
枪炮、火箭等从一个位置抛出去的物体做的运动为抛体运动。若抛出去的物体初速度是水平方向的，这种抛体运动叫平抛运动。根据运动叠加原理''（一个运动可以看成几个同时进行的各自独立的运动的叠加。）''可以发现，在忽略空气阻力时，可以看作是水平方向上的匀速运动与竖直方向上的[[自由落體|自由落体运动]]的叠加。若在竖直平面上建立[[笛卡儿坐标系|直角坐标系]]<math>xOy</math>,则物体在任一时刻<math>t</math>的水平速度<math>v_x</math>和竖直方向上的速度<math>v_y</math>分别为：
[[File:平抛运动的位移与速度.jpg|缩略图]]
<math>\begin{cases} v_x=v_0\\  v_y=gt\end{cases}</math>

物体在<math>t</math>时间内水平方向的位移和竖直方向的位移分别为：

<math>\begin{cases} x=v_0 t\\ y=\tfrac{1}{2}g t^2 \end{cases}</math>

由于速度、位移都是[[矢量]]，所以，物体在<math>t</math>时刻的合速度为<math>v=v_x+v_y</math>及<math>t</math>时刻内的合位移<math>s=x+y</math>均可由[[淨力|平行四边形法则]]求得，如图所示，上文提到的位移公式可得：<math>y=\frac{1}{2}g\frac{x^2}{v_0^2}=\frac{g}{2v_0^2}\cdot x^2</math>。这就是平抛运动的标准运动方程。

== 等速率圆周運動 ==
'''定义：'''如果质点沿圆周運動的速度不变，即在任意时间间隔内所通过的弧长相等，这种运动叫做等速率圆周運動。

由此可见，等速率圆周運動的速度方向不断改变，所以等速率圆周運動不是等速運動。因为质点做匀速圆周运动时，每经过一段时间，物体就绕圆周运动一圈，所以匀速圆周运动是一种周期性运动。物体绕圆周运动一圈的时间叫做'''周期'''，在单位时间内运行的周期数称为'''频率'''。在物体作匀速圆周运动时的线速度由以下公式计算：

<math>v=\frac{2\pi R}{T}</math> 或 <math>v=2\pi Rf</math> （<math>R</math>：圆的直径 <math>T</math>：周期 <math>f</math>：频率）

'''向心力：'''要使物体作等速率圆周運動，必须时时刻刻给物体一个与线速度方向垂直，沿着半径指向圆心的力，这个力稱為向心力。物体的运动方向不断改变就是因为向心力的作用。

向心力是物体作等速率圆周運動的必要条件之一（另一个必要条件是物体必须具有一定的切線速率）只有满足这两个条件，物体才能做等速率圆周運動。

向心力的大小满足下列公式：

<math>F=m\frac{v^2}{R}</math>

'''向心加速度：'''由向心力产生的加速度叫做向心加速度，它的方向也是指向圆心的。根据[[牛頓第二運動定律|牛顿第二定律]]

==动力学描述==
做曲线运动的物体在其运动轨迹的切向（沿速度方向）和法向（垂直于速度方向）均受力。在这两个方向上，都满足[[牛顿第二定律]]。

===切向===
<math>F_\tau=m\frac{dv}{dt}=ma_\tau</math>

<math>F_\tau</math>是物体在沿速度方向受到的分力，<math>a_\tau</math>为物体在此方向的[[加速度]]。这个加速度改变物体速度的[[速率|大小]]。<ref name=gaomiao2>{{cite book|title=更高更妙的物理|url=https://archive.org/details/genggaogengmiaod0000shen|author=沈晨|publisher=浙江大学出版社|edition=第四版|date=2012年5月|ISBN=978-7-308-04609-1|page=P63|language=zh-hans}}</ref>

===法向===
在垂直于速度的方向上：
<math>F_n=ma_n=m\frac{v^2}{\rho}</math>

<math>F_n</math>即为物体收到的法向力（在圆周运动中，此力就是向心力），<math>v</math>是这一时刻物体的速度，<math>\rho</math>是物体的运动[[轨迹]]上，物体所处的这一点的[[曲率半径]]。

法向力改变物体的速度方向，而不改变其大小。<ref name=gaomiao2/>

==等加速曲线运动==
[[File:Tir parabòlic.png|thumb|200px]]
如果一个物体不是垂直向上发射，而是与地平面呈<math>\Phi</math>角度射出，那麼，这物体会按照抛物线軌跡移动，它的水平运动与垂直运动可以各自独立计算。假设，这物体是以最初速率<math>v_0=50 m/s</math>，与地平面呈<math>\Phi=30^{\circ}</math>角度射出。

'''请问在碰到地面以前，它会在空中飞行多远？'''

垂直方向，这物体会感觉到<math>-9.81m/s^2</math>加速度；水平方向，不会感觉到有任何加速度。所以，水平位移是
:<math>\Delta x=x_f-x_i=v_i\cos(\Phi) \ t+\frac{1}{2}at^2=v_i\cos(\Phi)\ t</math>

为要解答这问题，必须找到<math>t</math>值。这是可以做到的，只需分析垂直的运动。假设垂直位移为零，用类似前面直线运动的方法来找<math>t</math>值：
:<math>0=v_i\sin(\Phi)\ t+\frac{1}{2}at^2=t(v_i\sin (\Phi)+\frac{1}{2}at)</math>
现在求解<math>t</math>的表達式，代入原先的水平位移方程式。
:<math>\Delta x=v_i\cos(\Phi)\left(\frac{-2v_i\sin(\Phi)}{a}\right)=-\frac{v_i^2\sin 2(\Phi)}{a}=220.70\ m</math>

==参见==
{{portal|物理}}
*[[平移运动]]
*[[匀速运动]]
*[[平抛运动]]
*[[简谐运动]]
*[[匀速圆周运动]]
*[[斜抛运动]]

==参考资料==
{{reflist}}
*物理（必修2），人民教育出版社

[[Category:运动学]]
[[Category:经典力学]]