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{{NoteTA|G1=Math}}
{{微积分学}}
在[[数学]]中，'''线积分'''（{{lang-en|Line integral}}）{{notetag|分为'''曲线积分'''（{{lang|en|curve integral}}或{{lang|en|curvilinear integral}}）或'''路徑積分'''（{{lang|en|path integral}}或contour integral，参考[[留数定理]]}}是[[积分]]的一种。积分函数的取值沿的不是[[区间]]，而是被称为积分路径的特定[[曲线]]<!--积分所沿的路径称为积分路径-->。{{notetag|路径积分中当积分路径为闭合曲线时，又称为'''环路积分'''或'''围道积分'''。}}

在曲线积分中，被积的[[函数]]可以是[[标量 (数学)|标量]]函数或[[向量]]函数。當被積函數是純量函數時，积分的值是積分路径各点上的函数值乘上該點切向量的長度，在被积分函数是向量函数时，積分值是積分向量函数与曲线切向量的內積。在函數是純量函數的情形下，可以把切向量的絕對值（長度）看成此曲線把該點附近定義域的極小區間，在[[對應域]]內拉長了切向量絕對值的長度，這也是曲线积分与一般[[区间]]上的积分的主要不同点。[[物理]]学中的许多簡潔公式（例如''W''='''F'''·'''s'''）在推广之后都是以曲线积分的形式出现

<math>W=\int_C \mathbf F\cdot \mathrm{d}\mathbf s</math>。

曲线积分在物理学中是很重要的工具，例如计算[[电场]]或[[重力场]]中的[[功|做功]]。

== 向量分析 ==
大致來說，[[向量分析]]中的曲线积分可以看成在某一场中沿特定路径的累积效果。更具体地说，如果曲線<math>C\subseteq \mathbb{R}^2</math>，标量场的曲线积分可以想成某個曲线（不是<math display="inline">C</math>）向下切割出的面积，这可以通过建立函數''z'' = ''f''(''x'',''y'')和''x''-''y''平面内的曲线''C''来想像這個曲面，可以把<math>x\text{-}y</math>平面上的曲線<math>C</math>想成屏風的底座，<math>f</math>代表在該點屏風的高度（這裡假設<math>f\ge 0</math>），則<math>f</math>的曲线积分就是該“屏風”的面积，也就是前面所說曲線<math display="inline">(x(t), y(t), f(x,y))</math>向下切割的面積，其中<math display="inline">(x(t), y(t))</math>是曲線<math display="inline">C</math>的參數化。

=== 标量场的曲线积分 ===
[[File:Line integral of scalar field.gif|frame|right|梯度場中的曲線積分]]
==== 定义 ====
设有[[标量场]]：'''F''' : ''U'' ⊆ '''R'''<sup>''n''</sup> <math>\to</math> '''R'''，则对于路径''C'' ⊂  ''U''，'''F'''的曲线积分是：
:<math>\int_C f\, \mathrm{d}s = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) |\mathbf{r}'(t)|\, \mathrm{d}t.</math>

其中，'''r''': [a, b] <math>\to</math> ''C''  是一个[[双射|一一對應]]的[[参数方程]]，并且'''r'''(''a'')和'''r'''(''b'')分别是路径曲线''C''的两个[[端点]]。

''f''称为'''积分函数'''，''C''是积分路径。不严格地说，''ds''可以被看作积分路径上的一段很小的“弧长”。曲线积分的结果不依赖于参量化函数'''r'''。

几何上，当标量场''f''定义在一个平面（''n''=2）上时，它的图像是空间中一个曲面''z''=''f''(''x'',''y'')，曲线积分就是以曲线''C''为界的有符号的截面面积。参见动画演示。

=== 向量场的曲线积分 ===
[[File:Line integral of vector field.gif|450px|thumb|向量场的曲线积分]]

设有[[向量场]]：'''F''' : ''U'' ⊆ '''R'''<sup>''n''</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>''n''</sup>，则其在路径''C'' ⊂ ''U''上关于方向'''r'''的曲线积分是： 

:<math>\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{r} 
= \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,\mathrm{d}t.</math>

其中，'''r''': [a, b] <math>\to</math> ''C''  是一个[[双射|一一]]的[[参数方程|参量化函数]]，并且'''r'''(''a'')和'''r'''(''b'')分别是路径曲线''C''的两个[[端点]]。这时曲线积分值的[[绝对值]]与参量化函数'''r'''无关，但其方向与参量化函数'''r'''的选择有关。特别地，当方向相反时，积分值也相反。

=== 与路径无关的条件 ===
如果向量场'''F'''是一个标量场'''G'''的[[梯度]]，即：
:<math>\nabla G = \mathbf{F},</math>

那么，由'''G'''和'''r'''组成的[[复合函数]]的导数是：
:<math>{\operatorname{d}\over\operatorname{d}\!t}G\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)
 = \nabla G\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr) \cdot \mathbf{r}'(t) 
 = \mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr) \cdot \mathbf{r}'(t)</math>

于是对路径'''C'''就有：
:<math>\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{r} 
= \int_a^b \mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot\mathbf{r}'(t)\,\mathrm{d}t 
= \int_a^b \frac{\mathrm{d}G\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t 
= G\bigl(\mathbf{r}(b)\bigr) - G\bigl(\mathbf{r}(a)\bigr)</math>。

用文字表示，就是说若'''F'''是一个梯度场，那么'''F'''的曲线积分与所取的路径无关，而只与路径的起点和终点的选取有关。

=== 应用 ===

在各种[[保守力]]的场都是路径无关的，一个常见的例子就是重力场或电场。在计算这种场的做功时，可以选择适当的路径进行积分，使得计算变得简单。

=== 曲线积分与复分析的关系 ===

如果将[[复数 (数学)|复数]]看作[[二维]]的向量，那么二维向量场的曲线积分就是相应复函数的[[共轭复数|共轭]]函数在同样路径上的积分值的[[复数 (数学)|实部]]。

根据[[柯西-黎曼方程]]，一个[[全纯函数]]的共轭函数所对应的向量场的[[旋度]]是0。

== 複曲线积分 ==
在[[複分析]]中，曲线积分是通过复数的加法和乘法定义的。令<math>U</math>为[[複平面|複数集]] <math>\mathbb{C}</math>的一个[[开子集]]，<math>f:U\to \mathbb{C}</math>是一个函数，<math>L\subset U</math>是一个参数为<math>\gamma : [a,b] \to L</math>的[[可求长曲线]]，其中<math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>。则曲线积分：

:<math>\int_L f(z)\,\mathrm{d}z</math>

可以通过将[[区间]] <math>[a,b]</math>分划为<math>a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b</math>来定义。考虑下式：

:<math>\sum_{k=1}^{n} f(\gamma(t_k)) [ \gamma(t_k) - \gamma(t_{k-1}) ]
=\sum_{k=1}^{n} f(\gamma_k) \Delta\gamma_k.</math>

曲线积分是区间分划的长度趋于零时这个[[黎曼积分|黎曼和]]的[[函數極限|极限]]。

当<math>\gamma</math>[[连续可微]]时，曲线积分可以用一个实变函数的积分表示：

:<math>\int_L f(z)\,\mathrm{d}z
=\int_a^b f\bigl(\gamma(t)\bigr)\,\gamma\,'(t)\,\mathrm{d}t.</math>

当<math>L</math>为闭合曲线时，积分的起点和终点重合，这时<math>f</math>沿<math>L</math>的曲线积分通常记作

:<math>\oint_L f(z)\,dz</math>

对于共轭微分算子<math>\overline{dz}</math>的曲线积分定义为<ref>{{cite book|first1=Lars| last1=Ahlfors | title = Complex Analysis 2nd edition | page=103}}</ref>

:<math>\int_L f \overline{\mathrm{d}z} 
= \overline{\int_L \overline{f} \mathrm{d}z} 
= \int_a^b f\bigl(\gamma(t)\bigr)\,\overline{\gamma'(t)}\,\mathrm{d}t.</math>

複函数的曲线积分有很多技巧。将複函数分作实部和虚部，可以将问题简化为两个实值函数的曲线积分。其它情况下可以用[[柯西积分公式]]。如果积分路径是闭合的，并且积分函数在区域中是[[解析函数|解析]]的且没有[[奇点 (几何)|奇点]]，那么它的曲线积分是零，这是[[柯西积分定理]]的推论。根据[[留数定理]]，可以用复平面上的围道积分计算实值函数在实区间上的积分。

=== 例子 ===

考虑复函数<math>f(z)=\frac{1}{z}</math>，设积分路径<math>L</math>为[[单位圆]]（模长为1的复数的集合）。我们使用<math>\gamma(t)=e^{it}</math>来将路径参数化，其中<math>t</math>在<math>[0,2\pi]</math>内。代入积分式就得到：

<math>
\begin{align}
\oint_L f(z)\,\mathrm{d}z & 
= \int_0^{2\pi} {1\over e^{it}} ie^{it}\,\mathrm{d}t 
= i\int_0^{2\pi} e^{-it}e^{it}\,\mathrm{d}t \\
& =i\int_0^{2\pi}\,\mathrm{d}t = i(2\pi-0)=2\pi i.
\end{align}
</math>

用[[柯西积分定理]]也可以得到结果。

== 量子力学 ==
{{main|路徑積分表述}}
[[量子力学]]中的“[[曲线积分形式]]”和'''曲线积分'''并不相同，因为曲线积分形式中所用的积分是[[函数空间]]上的[[泛函积分]]，即关于空间中每个路径的[[概率]]函数进行积分。然而，曲线积分在量子力学中仍有重要作用，比如说复围道积分常常用来计算量子[[散射]]理论中的[[概率振幅]]。

==参看==
* [[费曼－卡茨公式]]
* [[传播子]]，费恩曼传播子使用复平面的曲线积分
* [[留数定理]]，使用复平面的曲线积分

==注释==
{{notefoot}}

== 参考文献 ==
{{reflist}}

== 外部链接 ==
* [https://web.archive.org/web/20080123105812/http://www.math.montana.edu/frankw/ccp/multiworld/traveling/line-integrals/body.htm A pictoral explanation of the path integral]
* [https://web.archive.org/web/20080115102010/http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/Complex_Variables#Complex_Integrals Solved problems on path integrals]
* [https://web.archive.org/web/20061209010944/http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/ContourIntegralMod.html Contour Integrals Module by John H. Mathews]

[[Category:复分析|L]]
[[Category:积分学]]
[[Category:向量分析]]