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本文只考虑欧几里得空间中的曲线。大部分概念对[[黎曼流形|黎曼]]与[[伪黎曼流形|伪黎曼]][[微分流形|流形]]中曲线有类似结论。对任意[[拓扑空间|空间]]中曲线的讨论，参见主条目[[曲线]]。
}}

'''曲线的微分几何'''是[[几何学]]的一个分支，使用[[微分学|微分]]与[[积分学|积分]]专门研究[[欧几里得平面|平面]]与[[欧几里得空间]]中的[[光滑]][[曲线]]。

从古代开始，许多[[曲线列表|具体曲线]]已经用综合方法深入研究。[[微分几何]]采取另外一种方式：把曲线表示为[[参数方程|参数形式]]，将它们的几何性质和各种量，比如[[曲率]]和[[弧长]]，用[[向量分析]]表示为[[导数]]和[[积分]]。分析曲线最重要的工具之一为 '''Frenet 标架'''，是一个[[活动标架]]，在曲线每一点附近给出“最合适”的坐标系。

曲线的理论比[[曲面的微分几何|曲面理论]]及其高维推广的范围要狭窄得多，也简单得多。因为欧几里得空间中的正则曲线没有内蕴几何。任何正则曲线可以用弧长（“自然参数”）参数化，从曲线上来看不能知道周围空间的任何信息，所有曲线都是一样的。不同空间曲线只是由它们的弯曲和扭曲程度区分。数量上，这由微分几何不变量曲线的“[[曲率]]”和“[[曲线的挠率|挠率]]”来衡量。[[曲线基本定理]]断言这些不变量的信息完全确定了曲线。

== 定义 ==
{{main|曲线}}

设 <math>n</math> 是一个正整数，<math>r</math> 是正整数或 <math>\infty</math>，<math>I</math> 是实数[[集合 (数学)|非空]]区间，<math>t</math> 属于 <math>I</math>。一个<math>C^r</math> 类（即 <math>\gamma</math> 为 <math>r</math> 次[[光滑函数|连续可微]]）[[向量值函数]]

:<math>\mathbf{\gamma}:I \to {\mathbb R}^n</math>

称为一条 '''<math>C^r</math> 类参数曲线'''或曲线 <math>\gamma</math> 的一个 <math>C^r</math> 参数化，<math>t</math> 称为曲线 <math>\gamma</math> 的参数，<math>\gamma(I)</math> 称为曲线的'''像'''。将参数曲线 <math>\gamma</math> 和它的像 <math>\gamma(I)</math> 区别开来是非常重要的，因为一个给定的<math>{\mathbb R}^n</math>的子集可以是许多不同的参数曲线的像。

可以想象参数 <math>t</math> 代表时间，而曲线 <math>\gamma(t)</math> 作为空间中一个运动粒子[[轨迹]]。

如果 ''I'' 是闭区间 [''a'', ''b'']，我们称 γ(''a'') 为曲线 γ 的'''起点'''而 γ(''b'') 为'''终点'''。

如果 <math>\gamma(a)=\gamma(b)</math>，我们说 γ 是'''闭的'''或是一个'''环路'''。进一步，我们称 γ 是一条'''闭 C<sup>r</sup>-曲线'''，如果 γ<sup>(''k'')</sup>(a) = γ<sup>(''k'')</sup>(''b'') 对所有 ''k'' ≤ ''r''。

如果 <math>\gamma:(a,b)\to \mathbb{R}^n</math> 为[[单射]]，我们称为'''简单'''曲线。

如果参数曲线 <math>\gamma</math> 局部可写成[[幂级数]]，我们称曲线'''解析'''或是 <math>C^\omega</math> 类。

记号 -<math>\gamma</math> 表示朝相反的方向运动的曲线。

一条 <math>C^k</math>-曲线

:<math>\gamma:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n</math>

称为 '''<math>m</math> 阶正则'''[[当且仅当]]对任何 <math>t</math> 属于<math>I</math>

:<math>\lbrace \gamma'(t), \gamma''(t), ...,\gamma^{(m)}(t) \rbrace \mbox {, } m \leq k</math>

在 <math>\mathbb{R}^n</math> 中[[线性无关]]。

特别地，一条 <math>C^1</math>-曲线 <math>\gamma</math> 是'''正则'''的如果 

:<math>\gamma'(t) \neq 0</math> 对任何 <math>t \in I \,.</math>

== 重新参数化与等价关系 ==
{{Seealso|位置向量|向量值函数}}
给定一条曲线的像我们可以定义曲线的许多不同的参数化。微分几何旨在描述在一定的参数化下不变的性质。所以我们需在所有参数曲线集合上定义一种合适的[[等价关系]]。曲线的微分几何性质（长度，[[#Frenet 标架|Frenet 标架]]和广义曲率）在重新参数化下不变从而满足[[等价类]]性质。这个等价类称为  '''C<sup>r</sup> 曲线'''，是曲线的微分几何研究的中心。

两个 ''C''<sup>''r''</sup> 参数曲线

:<math> \mathbf{\gamma_1}:I_1 \to R^n</math>

与

:<math> \mathbf{\gamma_2}:I_2 \to R^n</math>

要称为'''等价'''，就要存在一个 ''C''<sup>''r''</sup> [[双射]]

:<math> \phi :I_1 \to I_2</math>

使得

:<math> \phi'(t) \neq 0 \qquad (t \in I_1)</math>

和

:<math> \mathbf{\gamma_2}(\phi(t)) = \mathbf{\gamma_1}(t) \qquad (t \in I_1)\,.</math>

γ<sub>2</sub> 称为 γ<sub>1</sub> 的'''重新参数化'''。这种 γ<sub>1</sub> 的重新参数化在所有参数 ''C''<sup>''r''</sup> 曲线的集合上定义了一种等价关系，其等价类称为 '''C<sup>r</sup> 曲线'''。

对'''定向 C<sup>r</sup> 曲线'''，我们可以定义一种“加细”的等价关系，要求 φ 满足 φ'(''t'') > 0。

等价的 ''C''<sup>''r''</sup> 曲线有相同的像；等价的定向 ''C''<sup>''r''</sup> 曲线有相同的运动方向。

== 长度与自然参数化 ==
{{main|弧长}}
{{See also|曲线#曲线的长度}}

''C''<sup>1</sup> 曲线 γ : [''a'', ''b''] → '''R'''<sup>''n''</sup> 的长度 ''l'' 可以定义为

:<math>l = \int_a^b \vert \mathbf{\gamma}'(t) \vert dt.</math>

曲线的长度在重参数化下保持不变，从而是曲线的一个微分几何性质。

对任何正则 ''C''<sup>''r''</sup> （''r'' 至少为 1）曲线 γ: [''a'', ''b''] → '''R'''<sup>''n''</sup> 我们可以定义一个函数

:<math>s(t) = \int_{t_0}^t \vert \mathbf{\gamma}'(x) \vert dx.</math>

写成

:<math>\overline{\mathbf{\gamma}(s)} = \gamma(t(s))</math> 

这里 ''t''(''s'') 是 ''s''(''t'') 的逆函数，我们得到 γ 的一个新参数化 <math> \bar \gamma</math>，称为'''自然'''、'''弧长'''或'''单位速度'''参数化；参数 ''s''(''t'') 称为 γ 的'''自然参数'''。

我们偏爱这个参数，因为自然参数 ''s''(''t'') 以单位速度转动 γ 的像，所以

:<math>\vert \overline{\mathbf{\gamma}'(s(t))} \vert = 1 \qquad (t \in I).</math>

在实际中常常很难计算出一条曲线的自然参数，但在理论讨论中很有用。

给定一条参数化曲线 γ(''t'') 的自然参数化是在差一个参数移动的意义下是惟一的。

数量

:<math>E(\gamma) = \frac{1}{2}\int_a^b \vert \mathbf{\gamma}'(t) \vert^2 dt</math>

经常称为曲线的'''能量'''或[[作用量]]；这个名称是有理由的，因为[[测地线]]方程是这个作用量的[[欧拉-拉格朗日方程|欧拉-拉格朗日]]运动方程。

== Frenet 标架 ==
{{see also|弗勒内-塞雷公式}}
[[File:Frenet frame.png|thumb|right|空间曲线一点的 Frenet 标架示意图。 ''T'' 是单位切向量，''P'' 为单位法向量，''B'' 是次法向量。]]

一个 '''Frenet 标架'''是一个[[活动标架|移动的参考标架]]，由描述曲线在每一点 γ(''t'') 局部性质的''n'' 个[[正交]]向量 ''e''<sub>''i''</sub>(''t'') 组成。这是微分几何处理曲线的主要工具，因为在这个局部参考系中，远比使用欧几里得那样的整体坐标系更容易和自然地描述局部性质（如曲率、挠率）。

给定 '''R'''<sup>''n''</sup> 中一条 ''n'' 阶正则 ''C''<sup>''n''+1</sup>-曲线 γ，曲线的 '''Frenet 标架'''是一组正交向量

:<math>\mathbf{e}_1(t), \ldots, \mathbf{e}_n(t)</math>

称为 '''[[弗勒内-塞雷公式|Frenet 向量]]'''。它们是通过对 γ(''t'') 的各阶导数使用[[格拉姆-施密特正交化|格拉姆-施密特正交化算法]]得到的：

:<math>\mathbf{e}_1(t) = \frac{\mathbf{\gamma}'(t)}{\| \mathbf{\gamma}'(t) \|}</math>

:<math>
\mathbf{e}_{j}(t) = \frac{\overline{\mathbf{e}_{j}}(t)}{\|\overline{\mathbf{e}_{j}}(t) \|} 
\mbox{, } 
\overline{\mathbf{e}_{j}}(t) = \mathbf{\gamma}^{(j)}(t) - \sum _{i=1}^{j-1} \langle \mathbf{\gamma}^{(j)}(t), \mathbf{e}_i(t) \rangle \, \mathbf{e}_i(t)
</math>

实值函数 χ<sub>''i''</sub>(''t'') 称为 '''广义曲率'''，定义为

:<math>\chi_i(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_i'(t), \mathbf{e}_{i+1}(t) \rangle}{\| \mathbf{\gamma}^'(t) \|} </math>

Frenet 标架和广义曲率在重新参数化下是不变的，故它们是曲线的微分几何性质。

== 特殊 Frenet 向量和广义曲率 ==
最初三个 Frenet 向量和广义曲率可以在三维空间中看到。它们有额外的名字以及与名称相关更多信息。

=== 切向量 ===

如果曲線 γ 表示一個質點的軌跡，那麼質點在給定點 ''P'' 的瞬時速度用一個[[向量]]表示，稱為曲線在 ''P'' 的'''切向量'''。

數學表述為，給定一條曲線 γ = γ(''t'')，對參數 ''t'' 的任何值： ''t'' = ''t<sub>0</sub>''，
向量：
:<math>\gamma'(t_0) = \frac{d}{d\,t}\mathbf{\gamma}(t) , {t=t_0} </math>
是點 ''P'' = γ(''t<sub>0</sub>'') 的切向量。一般說，切向量可以為[[零向量]]。

切向量的長度：
:<math>\|\mathbf{\gamma}'(t_0)\|</math>
是在時間 ''t''<sub>0</sub> 的速率。


第一個 Frenet 向量 ''e<sub>1</sub>''(''t'') 是在同一方向的'''單位切向量'''，在 γ 的每個正則點有定義：

:<math>\mathbf{e}_{1}(t) = \frac{ \mathbf{\gamma}'(t) }{ \| \mathbf{\gamma}'(t) \|}.</math>

如果 ''t'' = ''s'' 是自然參數則切向量有單位長，從而公式化簡為：

:<math>\mathbf{e}_{1}(s) = \mathbf{\gamma}'(s).</math>

單位切向量確定了曲線的'''定向'''，或隨著參數增長的前進方向。

=== 法向量 ===
'''法向量'''，有时也称为'''曲率向量'''，表明曲线和一条直线的偏离程度。

法向量定义为
:<math>\overline{\mathbf{e}_2}(t) = \mathbf{\gamma}''(t) - \langle \mathbf{\gamma}''(t), \mathbf{e}_1(t) \rangle \, \mathbf{e}_1(t).</math>

其正规形式'''单位法向量'''，是 Frenet 向量 ''e''<sub>2</sub>(''t'')，定义为

:<math>\mathbf{e}_2(t) = \frac{\overline{\mathbf{e}_2}(t)} {\| \overline{\mathbf{e}_2}(t) \|}.
</math>

''t'' 点的切向量和法向量张成 ''t'' 点的'''密切平面'''。

=== 曲率 ===
{{main|曲率}}
第一个广义曲率 χ<sub>1</sub>(''t'') 称为'''曲率'''，度量了曲线 γ 偏离密切平面上一条直线的程度。定义为

:<math>\kappa(t) = \chi_1(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_1'(t), \mathbf{e}_2(t) \rangle}{\| \mathbf{\gamma}^'(t) \|}</math>

称为 γ 在点 ''t'' 的[[曲率]]。

曲率的[[倒数]]

:<math>\frac{1}{\kappa(t)}</math>

称为'''曲率半径'''。

半径为 ''r'' 的圆周有常曲率
:<math>\kappa(t) = \frac{1}{r}\,,</math>

但一条直线的曲率是 0 。

=== 次法向量 ===

'''次法向量'''是第三个 Frenet 向量 ''e''<sub>3</sub>(''t'') ，
总是正交于 ''t'' 点的'''单位'''切向量和单位法向量。其定义为

:<math>\mathbf{e}_3(t) = \frac{\overline{\mathbf{e}_3}(t)} {\| \overline{\mathbf{e}_3}(t) \|}
\quad
\overline{\mathbf{e}_3}(t) = \mathbf{\gamma}'''(t) - \langle \mathbf{\gamma}'''(t), \mathbf{e}_1(t) \rangle \, \mathbf{e}_1(t)
- \langle \mathbf{\gamma}'''(t), \mathbf{e}_2(t) \rangle \,\mathbf{e}_2(t)
</math>

在 3 维空间中等式简化为
:<math>\mathbf{e}_3(t) = \mathbf{e}_2(t) \times \mathbf{e}_1(t)\,.</math>

=== 挠率 ===
{{main|曲线的挠率}}

第二广义曲率 χ<sub>2</sub>(''t'') 称为'''挠率'''，度量了 γ 和一条平面曲线的偏离程度。或者说，如果挠率为 0 则曲线完全在某平面内（任何 ''t'' 都在这一个平面内）。

:<math>\tau(t) = \chi_2(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_2'(t), \mathbf{e}_3(t) \rangle}{\| \mathbf{\gamma}'(t) \|}</math>

称为 γ 在点 ''t'' 的[[挠率张量|挠率]]。

== 曲线论主要定理 ==
{{main|曲线基本定理}}
给定 ''n'' 个函数

:<math>\chi_i \in C^{n-i}([a,b]) \mbox{, } 1 \leq i \leq n</math>

满足

:<math>\chi_i(t) > 0 \mbox{, } 1 \leq i \leq n-1</math>

那么存在'''惟一的'''（在差一个[[欧几里得群]]作用的意义下） ''n'' 阶正则 ''C''<sup>''n''+1</sup>-曲线 γ，具有如下性质

:<math>\|\gamma'(t)\| = 1  \mbox{ } (t \in [a,b])</math>
:<math>\chi_i(t) = \frac{ \langle \mathbf{e}_i'(t), \mathbf{e}_{i+1}(t) \rangle}{\| \mathbf{\gamma}'(t) \|} \,,</math>

这里集合

:<math>\mathbf{e}_1(t), \ldots, \mathbf{e}_n(t)</math>

是曲面的 Frenet 标架。

再附加起始 ''t''<sub>0</sub> &isin; ''I''，起始点 ''p''<sub>0</sub> &isin; '''R'''<sup>''n''</sup> 以及一个初始正交标架 {''e''<sub>1</sub>, ..., ''e''<sub>''n''-1</sub>} 满足

:<math>\mathbf{\gamma}(t_0) = \mathbf{p}_0</math>
:<math>\mathbf{e}_i(t_0) = \mathbf{e}_i \mbox{, } 1 \leq i \leq n-1</math>

那么我们可以排除欧几里得作用得到惟一的曲线 γ。

== Frenet-Serret 公式 ==

{{main|Frenet-Serret 公式}}

Frenet-Serret 公式是一组一阶[[常微分方程]]。其解为由广义曲率函数 χ<sub>''i''</sub> 所刻画的曲线的 Frenet 向量组。

=== 2-维 ===

:<math> 
\begin{bmatrix}
 \mathbf{e}_1'(t)\\
 \mathbf{e}_2'(t) \\
\end{bmatrix} 

=

\begin{bmatrix}
          0 & \kappa(t) \\
 -\kappa(t) &        0  \\
\end{bmatrix} 

\begin{bmatrix}
\mathbf{e}_1(t)\\
\mathbf{e}_2(t) \\
\end{bmatrix} 
</math>

=== 3-维===

:<math> 
\begin{bmatrix}
 \mathbf{e}_1'(t) \\
 \mathbf{e}_2'(t) \\
 \mathbf{e}_3'(t) \\
\end{bmatrix} 

=

\begin{bmatrix}
          0 &  \kappa(t) &       0 \\
 -\kappa(t) &          0 & \tau(t) \\
          0 &   -\tau(t) &       0 \\
\end{bmatrix} 

\begin{bmatrix}
 \mathbf{e}_1(t) \\
 \mathbf{e}_2(t) \\
 \mathbf{e}_3(t) \\
\end{bmatrix} 
</math>

=== ''n'' 维一般公式 ===

:<math> 
\begin{bmatrix}
  \mathbf{e}_1'(t)\\
           \vdots \\
 \mathbf{e}_n'(t) \\
\end{bmatrix} 

=

\begin{bmatrix}
          0 & \chi_1(t) &                &             0 \\
 -\chi_1(t) &    \ddots &         \ddots &               \\
            &    \ddots &              0 & \chi_{n-1}(t) \\
          0 &           & -\chi_{n-1}(t) &             0 \\
\end{bmatrix} 

\begin{bmatrix}
 \mathbf{e}_1(t) \\
          \vdots \\
 \mathbf{e}_n(t) \\
\end{bmatrix} 
</math>

== 参考文献 ==
* Erwin Kreyszig, ''Differential Geometry'', Dover Publications, New York, 1991, ISBN 9780484667218. Chapter II is is a classical treatment of ''Theory of Curves'' in 3-dimensions.
* 陈维桓，微分几何，北京大学出版社，北京，2006年，ISBN 7-301-10709.

== 另见 ==
*{{tsl|en|List of curves topics|曲线论题列表}}
*[[曲线的仿射几何]]
*[[弧]]
*[[切线]]、[[切点]]、[[次切距]]
*[[密切圆]]
*[[包络线]]、[[转迹线]]
*[[四顶点定理]]
*[[测地线]]
*[[等周问题]]
*[[环绕数]]

{{曲率}}

[[Category:微分几何|Q]]
[[Category:曲线|Q]]