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[[File:Radius_of_curvature.svg|thumb|400x400px|曲率半径与曲率中心]]

在[[微分几何]]中，'''曲率半径'''{{Mvar|R}}是[[曲率]]的倒数。 对于[[曲线]]上一点，曲率半径等于最贴近该点曲线的[[弧|圆弧]][[半径]]。 对于曲面上一点，曲率半径是最贴合该点的法向截面或其[[地球半径|组合]]的圆弧半径。 <ref>{{Cite web|title=Radius of Curvature|url=http://mathworld.wolfram.com/RadiusofCurvature.html|website=Wolfram Mathworld|last=Weisstien|first=Eric|access-date=15 August 2016|archive-date=2024-08-25|archive-url=https://web.archive.org/web/20240825195319/https://mathworld.wolfram.com/RadiusofCurvature.html|dead-url=no}}</ref> <ref name=":0">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=90mk7qPAvb4C&q=page+210|title=Differential Calculus|last=Kishan|first=Hari|date=2007|publisher=Atlantic Publishers & Dist|isbn=9788126908202|language=en}}</ref> <ref name=":1">{{Cite book|title=Differential and Integral Calculus|url=https://archive.org/details/differentialand00lovegoog|edition=Sixth|first=Clyde E.|last=Love|authorlink=Clyde E. Love|first2=Earl D.|last2=Rainville|authorlink2=Earl D. Rainville|date=1962|publisher=MacMillan|location=New York|language=en}}</ref>

== 定义 ==

对于[[曲线|空间曲线]]，曲率半径是[[曲线的微分几何|曲率矢量]]的长度。

对于[[平面曲线]]，则曲率半径是曲线上固定一点的弧长的微分与切角的微分之比<ref name=":1" />的[[绝对值]]

<math>R=\left\vert {ds \over d\varphi} \right\vert={1 \over \kappa}</math>

而{{Mvar|κ}}是[[曲率]]。

== 公式 ==

=== 二维 ===
{{Further|曲率#平面曲线的曲率}}
若曲线在笛卡尔坐标中为{{Math|''y''(''x'')}} 作为函数图，则其曲率半径为（假设曲线可进行二阶微分）

<math display="block">R =\left| \frac { \left(1 + y'^{\,2}\right)^\frac32}{y''}\right|\,,
</math>

其中<math display="inline">y' = \frac{dy}{dx}\,,</math><math display="inline">y'' = \frac{d^2y}{dx^2},</math>{{Math|{{abs|''z''}}}}为''{{Mvar|z}}''的绝对值。

如果曲线是关于函数{{Math|''x''(''t'')}}和{{Math|''y''(''t'')}}的参数方程，则其曲率半径为

<math display="block">R = \left|\frac{ds}{d\varphi}\right| = \left|\frac {\left({\dot{x}^2 + \dot{y}^2}\right)^\frac32}{\dot {x}\ddot{y} - \dot{y}\ddot{x}}\right|
</math>

其中<math display="inline">\dot{x} = \frac{dx}{dt},</math><math display="inline">\ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2},</math><math display="inline">\dot{y} = \frac{dy}{dt},</math><math display="inline">\ddot{y} = \frac{d^2y}{dt^2}.</math>

由此启发，该结果可以表示为<ref name=":0" />

<math display="block">R = \frac{\left|\mathbf{v}\right|^3}{\left| \mathbf{v} \times \mathbf{ \dot v} \right|}\,,</math>

其中

<math display="block">\left| \mathbf{v} \right| = \big| (\dot x, \dot y) \big| = R \frac{d\varphi}{dt}\,.</math>

=== n维 ===
若{{Math|'''γ''' : ℝ → ℝ<sup>''n''</sup>}}是{{Math|ℝ<sup>''n''</sup>}}中的参数方程曲线，则曲线上每个点的曲率半径{{Math|''ρ'' : ℝ → ℝ}} ，由<ref name=":1" />此可知

<math display="block">\rho = \frac{\left|\boldsymbol\gamma'\right|^3}{\sqrt{\left|\boldsymbol\gamma'\right|^2 \, \left|\boldsymbol\gamma''\right|^2 - \left(\boldsymbol\gamma' \cdot \boldsymbol\gamma''\right)^2}}\,.</math>

特殊情况下，若{{Math|''f''(''t'')}}是从{{Math|ℝ}}映射到{{Math|ℝ}}的函数，则其图象的曲率半径{{Math|'''γ'''(''t'') {{=}} (''t'', ''f'' (''t''))}}为

<math display="block">\rho(t)=\frac{\left|1+f'^{\,2}(t)\right|^\frac32}{\left|f''(t)\right|}.</math>


=== 推导过程 ===
令{{Math|'''γ'''}}如上，并固定''{{Mvar|t}}'' 。我们想要找到一个与{{Mvar|t}}处的{{Math|γ}}零阶、一阶和二阶导数相匹配的参数方程圆的半径''{{Mvar|ρ}}'' 。显然，半径与位置{{Math|'''γ'''(''t'')}} 无关，而与速度{{Math|'''γ'''′(''t'')}}和加速度{{Math|'''γ'''″(''t'')}} 有关。 由向量{{Math|'''v'''}}和{{Math|'''w'''}}只能获得三个独立标量，即{{Math|'''v''' · '''v'''}} 、 {{Math|'''v''' · '''w'''}}和{{Math|'''w''' · '''w'''}} 。因此，曲率半径一定是关于这三个标量函数。即 {{Math|{{abs|'''γ'''′(''t'')}}{{sup|2}}}}, {{Math|{{abs|'''γ'''″(''t'')}}{{sup|2}}}}，{{Math|'''γ'''′(''t'') · '''γ'''″(''t'')}} 。 <ref name=":1" />

{{Math|ℝ<sup>''n''</sup>}}中圆的一般参数方程为

<math display="block">\mathbf{g}(u) = \mathbf a \cos (h(u)) + \mathbf b \sin (h(u)) + \mathbf c</math>

其中{{Math|'''c''' ∈ ℝ<sup>''n''</sup>}}是圆心（无关，因为它在求导过程中消失）， {{Math|'''a''','''b''' ∈ ℝ<sup>''n''</sup>}}是长度为''{{Mvar|ρ}}''的相互垂直的向量（即， {{Math|'''a''' · '''a''' {{=}} '''b''' · '''b''' {{=}} ''ρ''{{sup|2}}}}，{{Math|'''a''' · '''b''' {{=}} 0}} ), {{Math|''h'' : ℝ → ℝ}}是在{{Mvar|t}}处可两次微分任意函数。

{{Math|'''g'''}}的相关导数为

<math display="block">\begin{align}
|\mathbf g'|^2 &= \rho^2 (h')^2 \\
\mathbf g' \cdot \mathbf g'' &= \rho^2 h' h'' \\
|\mathbf g''|^2 &= \rho^2 \left((h')^4 + (h'')^2 \right)
\end{align}</math>

若现在将{{Math|'''g'''}}的导数等同于''{{Mvar|t}}''处{{Math|'''γ'''}}的相应导数，可得

<math display="block">\begin{align}
|\boldsymbol\gamma'(t)|^{2} &= \rho^2 h'^{\,2}(t) \\
\boldsymbol\gamma'(t) \cdot \boldsymbol\gamma''(t) &= \rho^2 h'(t) h''(t) \\
|\boldsymbol\gamma''(t)|^{2} &= \rho^2 \left(h'^{\,4}(t) + h''^{\,2}(t)\right)
\end{align}</math>

关于三个未知数（ ''{{Mvar|ρ}}'' 、 {{Math|''h''′(''t'')}}和{{Math|''h''″(''t'')}} ）的三个方程可以求解其中的''{{Mvar|ρ}}'' ，可得曲率半径的公式为：

<math display="block">
\rho(t) = \frac{\left|\boldsymbol\gamma'(t)\right|^{3}}{\sqrt{\left|\boldsymbol\gamma'(t)\right|^{2} \, \left|\boldsymbol\gamma''(t)\right|^{2} - \big(\boldsymbol\gamma'(t) \cdot \boldsymbol\gamma''(t)\big)^2}}\,,
</math>

提高可读性省略参数''{{Mvar|t}}'' ，可得

<math display="block">
\rho = \frac{\left|\boldsymbol\gamma'\right|^3}{\sqrt{\left|\boldsymbol\gamma'\right|^2 \; \left|\boldsymbol\gamma''\right|^2 - \left(\boldsymbol\gamma' \cdot \boldsymbol\gamma''\right)^2}}\,.
</math>
==示例==

===半圆与圆===

对于一个半径为{{mvar|a}}的在上半平面的[[半圆]] 

<math display="block">\begin{align}
y   &= \sqrt{a^2-x^2} \\
y'  &= \frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}} \\
y'' &= \frac{-a^2}{\left(a^2-x^2\right)^\frac{3}{2}}\,.
\end{align}</math>

[[Image:Ellipse evolute.svg|right|thumb|240px|椭圆(红线)及其[[渐屈线]] (蓝线)。点是椭圆的顶点, 及最大或最小的曲率半径的点]]

对于一个半径为{{mvar|a}}的在下半平面的[[半圆]] 
<math display="block">y = -\sqrt{a^2-x^2}\,.</math>

该半径为{{mvar|a}}的[[圆]]有等于{{mvar|a}}的曲率半径。

===椭圆===

在长轴为{{math|2''a''}}短轴为{{math|2''b''}}的[[椭圆]]中, 长轴的[[顶点 (曲线)|顶点]]有该椭圆上最小的曲率半径, {{nowrap|<math display="inline">R={b^2 \over a}</math>;}} 并且短轴的顶点有该椭圆上最大的曲率半径 {{math|''R'' {{=}} {{sfrac|''a''<sup>2</sup>|''b''}}}}。

令椭圆的曲率半径是关于参数{{mvar|t}}的方程, 即<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Ellipse|url=https://mathworld.wolfram.com/|access-date=2022-02-23|website=mathworld.wolfram.com|language=en|archive-date=2000-02-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20000229101824/https://mathworld.wolfram.com/|dead-url=no}}</ref>

<math display="block">R(t)= \frac{(b^2 \cos^2t + a^2\sin^2t)^{3/2}}{ab}\,,</math>

其中<math display="inline">\theta = \tan^{-1}\Big(\frac{y}{x}\Big) = \tan^{-1}\Big(\frac{b}{a}\;\tan\;t\Big)\,.</math>

令椭圆的曲率半径是关于参数{{mvar|θ}}的方程, 即

<math display="block">R(\theta)=\frac{a^2}{b}\biggl(\frac{1-e^2(2-e^2)(\cos\theta)^2)}{1-e^2(\cos\theta)^2}\biggr)^{3/2}\,,</math>

其中[[偏心率 (数学)#椭圆|椭圆的偏心率]]{{mvar|e}}, 是

<math display="block">e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}\,.</math>

==应用==
*在[[微分几何]]中使用，参见{{le|切萨罗方程|Cesàro equation}}
*在[[地球半径#曲率半径|地球的曲率半径]]（近似于扁椭球体）中使用；参见：{{le|弧度测量|Arc measurement}}
*曲率半径也在弯曲[[梁 (结构)|梁]]的三部分方程中使用
*[[曲率半徑 (光学)]]
*薄膜技术
*[[印刷电子学]]
*[[最小曲线半径]]
*[[AFM 探测器]]

== 參考 ==
{{reflist}}

[[Category:理论物理]]
[[Category:曲率]]
[[Category:曲線]]
[[Category:多变量微积分]]