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'''曲波变换'''（{{lang-en|Curvelet Transform}}）是一种可以对多尺度信号进行表示的非自适应方法。作为[[小波分析|小波变换]]的推广，曲波变换目前广泛的应用于诸如图像处理和科学计算等领域。

小波通过使用具有时频局域化性质的基对[[傅里叶变换]]进行了推广。对于高维信号，通过局域化朝向（Orientation），小波变换可以具有方向信息。曲波变换和包含方向信息的小波变换的区别在于，对于角度的局域化性质会随着尺度变化。

曲波变换适用于表示图像等除奇异点外光滑的信号，这些信号由具有有界曲率的曲线构成，卡通、几何和文字等图片都具有这样的性质，<ref name=":0">{{Cite journal |last=Candès |first=Emmanuel J. |last2=Donoho |first2=David L. |date=2005-09-01 |title=Continuous curvelet transform: I. Resolution of the wavefront set |url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1063520305000199 |journal=Applied and Computational Harmonic Analysis |language=en |volume=19 |issue=2 |doi=10.1016/j.acha.2005.02.003 |issn=1063-5203 |access-date=2023-02-23 |archive-date=2023-02-23 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230223131755/https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1063520305000199 |dead-url=no }}</ref>这些图片的边缘会随着图片的放大显得越来越直。然而一般的照片不具有类似的特征，它们往往在几乎所有的尺度上都有细节信息。所以在处理一般的照片时，选择具有方向信息的小波变换会在每个尺度上都具有相同的纵横比。

当图像类型适合时，曲波变换可以提供比其他小波变换更稀疏的表示。 通过假设仅使用 <math>n</math> 个小波作为几何测试图像的最佳逼近，并将近似误差作为 <math>n</math> 的函数来量化表示的稀疏性。对于傅里叶变换，均方误差的衰减速度约为 <math>O(1/\sqrt{n})</math>。对于包括方向性的和非方向性的一系列小波变换，均方误差的衰减速度约为 <math>O(1/n)</math>。而采用曲波变换则可以使均方误差的衰减速度下降到约为 <math>O({(\log n)}^3/{n^2})</math>。

Candès等人提出了两种离散曲波变换的快速算法，分别是基于非均匀采样傅里叶变换的Curvelet变换（Based on unequally-spaced fast Fourier transforms (USFFT)）和基于卷绕的Curvelet变换（Based on the wrapping of specially selected Fourier samples）；对于大小为<math>n \times n</math>的图片，二者的计算复杂度均为<math>O(n^2 \log n)</math>，约是[[快速傅里叶变换]]的6-10倍。<ref>{{Cite journal |last=Candès |first=Emmanuel |last2=Demanet |first2=Laurent |last3=Donoho |first3=David |last4=Ying |first4=Lexing |date=2006-01 |title=Fast Discrete Curvelet Transforms |url=http://epubs.siam.org/doi/10.1137/05064182X |journal=Multiscale Modeling & Simulation |language=en |volume=5 |issue=3 |doi=10.1137/05064182X |issn=1540-3459 |access-date=2023-02-23 |archive-date=2023-02-23 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230223131758/https://epubs.siam.org/doi/10.1137/05064182X |dead-url=no }}</ref>

== 曲波的构建 ==
为了构建曲波的基函数 <math>\phi</math>，并在二维频率平面提供一个平铺（tiling），以下两个方面应当得到考虑：

# 考虑频域的极坐标
# 构建的曲波基应以近似楔形的方式局部[[支撑集|支撑]]

在尺度<math>2^{-j}</math>下，楔形元素的数量为<math>N_j=4\cdot 2^{\lceil \frac{j}{2} \rceil}</math>，也就是说，每经过两个圆环会使楔形元素数量加倍。

令频域的坐标<math>\boldsymbol{\xi}=(\xi_1, \xi_2)^T</math>，所以频域的极坐标为<math>r=\sqrt{\xi_1^2+\xi_2^2 }</math>，<math>\omega=\arctan \frac{\xi_1}{\xi_2} </math>。

在极坐标下，我们假设膨胀的基本曲波为：

<math>{\hat {\phi }}_{j,0,0}:=2^{\frac {-3j}{4}}W(2^{-j}r){\tilde {V}}_{N_{j}}(\omega ),r\geq 0,\omega \in [0,2\pi ),j\in N_{0}</math>

为了使构建的曲波基在一个近似楔形区域上支撑，两个[[窗函数]]<math>W</math>和<math>\tilde{V}_{N_j}</math>需要是紧支撑的。我们可以简单的使<math>W(r) </math>覆盖<math>(0, \infty)</math>，膨胀的曲波和<math>\tilde{V}_{N_j }</math>使得每一个圆环被<math>\tilde{V}_{N_j }</math>的平移覆盖。

由容许性条件可以得出：

<math>\sum _{j=-\infty }^{\infty }\left|W(2^{-j}r)\right|^{2}=1,r\in (0,\infty ).</math>

为了利用<math>N</math>个楔形平铺一个圆环（<math>N</math>为正整数）我们需要以<math>2\pi </math>为周期的非负窗<math>\tilde{V}_{N }</math>在区间<math>\left[\frac{-2\pi}{N}, \frac{2\pi}{N}\right]</math>内支撑，使得：

<math>\sum _{l=0}^{N-1}{\tilde {V}}_{N}^{2}(\omega -{\frac {2\pi l}{N}})=1, \omega\in\left[0, 2\pi\right)</math>

<math>\tilde{V}_{N }</math>可以简单的由一个标量窗通过<math>2\pi </math>周期化构建为<math>V(\frac{N\omega}{2\pi})</math>。

所以：

<math>\sum _{l=0}^{N_{j}-1}\left|2^{\frac {3j}{4}}{\hat {\phi }}_{j,0,0}(r,\omega -{\frac {2\pi l}{N_{j}}})\right|^{2}=\left|W(2^{-j}r)\right|^{2}\sum _{l=0}^{N_{j}-1}{\tilde {V}}_{N_{j}}^{2}(\omega -{\frac {2\pi l}{N}})=\left|W(2^{-j}r)\right|^{2}</math>

为了完全覆盖包括零点附近区域的频率平面，我们需要定义一个低通成分<math>\hat{\phi}_{-1}:=W_0(|\xi|)</math>满足：

<math>W_0^2(r)^2:=1-\sum_{j=0}^{\infty}W(2^{-j}r)^2</math>

该部分在单位圆上支撑，此时不考虑旋转。

关于Curvelet性质、构建及其离散化的详细信息，参见<ref name=":0" /><ref>{{Cite journal |last=Candès |first=Emmanuel J. |last2=Donoho |first2=David L. |date=2005-09-01 |title=Continuous curvelet transform: II. Discretization and frames |url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1063520305000205 |journal=Applied and Computational Harmonic Analysis |language=en |volume=19 |issue=2 |doi=10.1016/j.acha.2005.02.004 |issn=1063-5203 |access-date=2023-02-23 |archive-date=2023-02-23 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230223131756/https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1063520305000205 |dead-url=no }}</ref><ref>{{Cite journal |last=Ma |first=Jianwei |last2=Plonka |first2=Gerlind |date=2010-03 |title=The Curvelet Transform |url=https://ieeexplore.ieee.org/document/5438971/ |journal=IEEE Signal Processing Magazine |volume=27 |issue=2 |doi=10.1109/MSP.2009.935453 |issn=1558-0792 |access-date=2023-02-23 |archive-date=2022-12-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20221221023019/http://ieeexplore.ieee.org/document/5438971/ |dead-url=no }}</ref>。

== 应用 ==

* [[图像处理]]
* 地震勘探
* [[流体力学]]
* 求解[[偏微分方程]]
* [[壓縮感知|压缩感知]]

== 外部链接 ==

* [http://curvelet.org/ Curvelet.org 主页] {{Wayback|url=http://curvelet.org/ |date=20080224132551 }}

== 参考文献 ==
[[Category:小波分析]]
[[Category:時頻分析]]
[[Category:图像处理]]