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在[[晶体学]]中，'''晶体学点群'''是[[对称]]操作（例如[[旋转]]、[[镜像 (几何)|反映]]）的[[集合 (数学)|集合]]。这些操作以固定的[[中心对称|中心]]向其他方向移动能使晶体复原，因此称为对称操作。对于一种真正的晶体（不是[[准晶体]]），点群对应的操作必须能够保持晶体的三维[[平移对称性]]。经过它的点群中任何操作之后，晶体的宏观性质依然和操作前完全相同<ref name="zgd">{{zh-hans}}{{cite book|author=周公度、段连运|title=结构化学基础|year=2008|publisher=北京大学出版社|location=北京|isbn=9787301057735|edition=第四版}}</ref>。在晶体的分类中，每一种点群也称为'''晶类'''。

这样看来似乎有无穷多种三维点群。然而，根据[[晶体学限制定理|晶体局限定理]]可知，无穷多族的普通[[点群]]可以概括成32种晶体学点群。这32种点群与1830年[[约翰·弗里德里希·克里斯蒂安·赫塞尔]]提出的32种晶体形态学（外部）对称性是等价的，而他是从观察晶体外形得出的此结论。

晶体的点群和其他要素一起从结构上决定了晶体的物理性质具有[[各向异性]]，包括[[晶体光学|光学性质]]，例如某种晶体是否有[[双折射]]性质，或者它是否表现出[[普克尔斯效应]]。

==记号==
点群表示的是晶体所包含的对称元素。目前有多种不同的记号，分别由结晶学家、[[矿物学家]]、[[物理学家]]和[[化学家]]使用。

对于下面两种不同系统的关系，请参见'''[[晶系]]'''。

===熊夫利记号===
{{main|熊夫利记号}}
{{details|三维点群}}

在[[亚瑟·莫里茨·熊夫利|熊夫利]]中，点群是用字母符号加上数字下标表示的。下面简述晶体学中使用的这种符号的意义<ref name="gwj">{{zh-hans}}{{cite book|author=麦松威、周公度、李伟基|title=高等无机结构化学|year=2006|publisher=北京大学出版社|location=北京|isbn=9787301047934|edition=第二版}}</ref>：

*''C<sub>n</sub>''（[[循环群]]）表示该群有一根''n''次旋转轴。''C<sub>nh</sub>''是''C<sub>n</sub>''加上一个与[[旋转|旋转轴]]垂直的[[镜面]]（反映）对称元素。''C<sub>nv</sub>''则是''C<sub>n</sub>''加上n个与旋转轴平行的镜面对称元素。
*''S<sub>2n</sub>''（源自德语''Spiegel''，意思是镜面）表示一根只含有''2n''次[[旋转反映|旋转反映轴]]（简称映轴）。
*''D<sub>n</sub>''（[[二面体群]]）表示这个群只有一根''n''次旋转轴和''n''根垂直于这根主轴的二重轴。''D<sub>nh</sub>''是加上一个与''n''次旋转轴垂直的镜面。''D<sub>nd</sub>''则是''D<sub>n</sub>''是加上n个与''n''次旋转轴平行的镜面。
*字母''T''（[[四面体]]）表示这个群有四面体的对称性。''T<sub>d</sub>''则包括了旋转反映操作，''T''群本身则不包含旋转反映操作，''T<sub>h</sub>''则是''T''群加上与旋转轴垂直的镜面。
*字母''O''（[[八面体]]）表示该群具有八面体或者[[立方体]]的对称性，可能包括（''O<sub>h</sub>''）或不包括（''O''）旋转反映操作。

根据[[晶体学限制定理|晶体局限定理]]，在二维或三维空间中''n''的取值只有1、2、3、4和6。

{| class="wikitable" border="1"
|-
! n
! 1
! 2
! 3
! 4
! 6
|-
| ''C<sub>n</sub>''
| ''C<sub>1</sub>''
| ''C<sub>2</sub>''
| ''C<sub>3</sub>''
| ''C<sub>4</sub>''
| ''C<sub>6</sub>''
|-
| ''C<sub>nv</sub>''
| ''C<sub>1v</sub>''=''C<sub>1h</sub>''
| ''C<sub>2v</sub>''
| ''C<sub>3v</sub>''
| ''C<sub>4v</sub>''
| ''C<sub>6v</sub>''
|-
| ''C<sub>nh</sub>''
| ''C<sub>1h</sub>''
| ''C<sub>2h</sub>''
| ''C<sub>3h</sub>''
| ''C<sub>4h</sub>''
| ''C<sub>6h</sub>''
|-
| ''D<sub>n</sub>''
| ''D<sub>1</sub>''=''C<sub>2</sub>''
| ''D<sub>2</sub>''
| ''D<sub>3</sub>''
| ''D<sub>4</sub>''
| ''D<sub>6</sub>''
|-
| ''D<sub>nh</sub>''
| ''D<sub>1h</sub>''=''C<sub>2v</sub>''
| ''D<sub>2h</sub>''
| ''D<sub>3h</sub>''
| ''D<sub>4h</sub>''
| ''D<sub>6h</sub>''
|-
| ''D<sub>nd</sub>''
| ''D<sub>1d</sub>''=''C<sub>2h</sub>''
| ''D<sub>2d</sub>''
| ''D<sub>3d</sub>''
|style="background:silver"| ''D<sub>4d</sub>''
|style="background:silver"| ''D<sub>6d</sub>''
|-
| ''S<sub>2n</sub>''
| ''S<sub>2</sub>''
| ''S<sub>4</sub>''
| ''S<sub>6</sub>''
|style="background:silver"|  ''S<sub>8</sub>''
|style="background:silver"|  ''S<sub>12</sub>''
|}
''D<sub>4d</sub>''和''D<sub>6d</sub>''实际上是不存在的，因为它们分别包含了n=8和12的[[旋转反映]]轴。表格中剩下的27种点群与''T''、''T<sub>d</sub>''、''T<sub>h</sub>''、''O''和''O<sub>h</sub>''共同组成32种晶体学点群。

{{-}}

=== 赫尔曼–莫甘记号 ===
[[File:Group-subgroup relationship (3D).png|right|480px]]
{{main|赫尔曼–莫甘记号}}
[[赫尔曼–莫甘记号]]的一种简略形式广泛用于表示[[空间群]]，也用于描述晶体学点群。群的名称列在下表中；点群间相互之关系可见右图。

{| class=wikitable
|1|| {{overline|1}}
|-
|2|| || <sup>2</sup>⁄<sub>m</sub>||222|| m|| mm2|| mmm
|-
|3|| {{overline|3}}|| || 32|| 3m|| {{overline|3}}m
|-
|4||{{overline|4}}|| <sup>4</sup>⁄<sub>m</sub>|| 422|| 4mm|| {{overline|4}}2m|| <sup>4</sup>⁄<sub>m</sub>mm
|-
|6|| {{overline|6}}|| <sup>6</sup>⁄<sub>m</sub>|| 622|| 6mm|| {{overline|6}}2m|| <sup>6</sup>⁄<sub>m</sub>mm
|-
|23|| m{{overline|3}}|| 432|| {{overline|4}}3m|| m{{overline|3}}m
|}

{{-}}
===不同记号之间的对应关系===

{| class="wikitable"
|-
![[晶系|晶族]] !! [[晶系]] !!赫尔曼–莫甘<br />（完整记号） !!赫尔曼–莫甘<br />（简写记号）!! 舒勃尼科夫<ref>{{en}} {{cite web |url=http://it.iucr.org/Ab/ch12o1v0001/sec12o1o3/ |title=存档副本 |accessdate=2011-11-25 |deadurl=yes |archiveurl=https://archive.today/20130704042455/http://it.iucr.org/Ab/ch12o1v0001/sec12o1o3/ |archivedate=2013-07-04 }}</ref> !! 熊夫利 !![[轨形记号]]!![[考克斯特记号]] || 阶
|-
| rowspan="2" colspan="2"| <center>[[三斜晶系|三斜]]</center>|| 1 || 1 ||  <math>1\ </math>||''C<sub>1</sub>'' || 11 || [&nbsp;]<sup>+</sup> || 1
|-
| {{overline|1}} || {{overline|1}} || <math>\tilde{2}</math> ||''C<sub>i</sub> = S<sub>2</sub>'' ||  x || [2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>] ||2
|-
|rowspan="3"  colspan="2"| <center>[[单斜晶系|单斜]]</center>|| 2 || 2 || <math>2\ </math> ||''C<sub>2</sub>'' || 22 || [2]<sup>+</sup> || 2
|-
| m || m || <math>m\ </math> ||''C<sub>s</sub> = C<sub>1h</sub>'' || * || [&nbsp;] || 2
|-
| <math>\color{Black}\tfrac{2}{m}</math> || 2/m || <math>2:m\ </math> || ''C<sub>2h</sub>'' ||  2* || [2,2<sup>+</sup>] || 4
|-
|rowspan="3" colspan="2"| <center>[[正交晶系|正交]]</center> ||  222 ||222 ||<math>2:2\ </math> ||''D<sub>2</sub> = V'' || 222 || [2,2]<sup>+</sup> || 4
|-
| mm2 || mm2 || <math>2 \cdot m\ </math> ||''C<sub>2v</sub>'' || *22 || [2] || 4
|-
| <math>\color{Black}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}</math> || mmm || <math>m \cdot 2:m\ </math> ||''D<sub>2h</sub>'' ||  *222 || [2,2] || 8
|-
| rowspan="7" colspan="2"| <center>[[四方晶系|四方]]</center>||  4 || 4 || <math>4\ </math> ||''C<sub>4</sub>'' ||  44 || [4]<sup>+</sup> || 4
|-
| {{overline|4}} ||{{overline|4}} || <math>\tilde{4}</math> || ''S<sub>4</sub>'' || 2x || [2<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>] ||4
|-
|  <math>\color{Black}\tfrac{4}{m}</math> || 4/m || <math>4:m\ </math>|| ''C<sub>4h</sub>'' ||  4* || [2,4<sup>+</sup>] || 8
|-
|422 || 422 || <math>4:2\ </math> || ''D<sub>4</sub>'' || 422 || [4,2]<sup>+</sup> || 8
|-
|4mm || 4mm ||<math>4 \cdot m\ </math> || ''C<sub>4v</sub>'' ||  *44 || [4] || 8
|-
| {{overline|4}}2m || {{overline|4}}2m || <math>\tilde{4}\cdot m</math> || ''D<sub>2d</sub>'' ||  2*2 || [2<sup>+</sup>,4] || 8
|-
| <math>\color{Black}\tfrac{4}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}</math> || 4/mmm || <math>m \cdot 4:m\ </math> || ''D<sub>4h</sub>'' || *422 || [4,2] || 16
|-
|rowspan="12" | <center>[[六方晶系|六方]]</center>||rowspan="5"| <center>[[三方晶系|三方]] </center>|| 3 || 3 || <math>3\ </math> || ''C<sub>3</sub>'' ||  33 || [3]<sup>+</sup> || 3
|-
|{{overline|3}} || {{overline|3}} ||<math>\tilde{6}</math> || ''S<sub>6</sub> = C<sub>3i</sub>'' ||  3x || [2<sup>+</sup>,6<sup>+</sup>] ||6
|-
| 32 || 32 || <math>3:2\ </math> || ''D<sub>3</sub>'' ||  322 || [3,2]<sup>+</sup> || 6
|-
| 3m || 3m || <math>3 \cdot m\ </math> || ''C<sub>3v</sub>'' ||  *33 || [3] || 6
|-
| {{overline|3}}<math>\color{Black}\tfrac{2}{m}</math> ||{{overline|3}}m || <math>\tilde{6}\cdot m</math> || ''D<sub>3d</sub>'' || 2*3 || [2<sup>+</sup>,6] || 12
|-
| rowspan="7"| <center>[[六方晶系|六方]]</center>||6 || 6 || <math>6\ </math> || ''C<sub>6</sub>'' ||  66 || [6]<sup>+</sup> || 6
|-
| {{overline|6}} || {{overline|6}} || <math>3:m\ </math> || ''C<sub>3h</sub>'' ||  3* || [2,3<sup>+</sup>] || 6
|-
| <math>\color{Black}\tfrac{6}{m}</math> || 6/m || <math>6:m\ </math> || ''C<sub>6h</sub>'' ||  6* || [2,6<sup>+</sup>] || 12
|-
| 622 || 622 || <math>6:2\ </math> || ''D<sub>6</sub>'' ||  622 || [6,2]<sup>+</sup> || 12
|-
| 6mm || 6mm ||<math>6 \cdot m\ </math> || ''C<sub>6v</sub>'' ||  *66 || [6] || 12
|-
| {{overline|6}}m2 || {{overline|6}}m2 || <math>m \cdot 3:m\ </math> || ''D<sub>3h</sub>'' ||  *322 || [3,2] || 12
|-
| <math>\color{Black}\tfrac{6}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}</math> || 6/mmm || <math>m \cdot 6:m\ </math> || ''D<sub>6h</sub>'' ||  *622 || [6,2] || 24
|-
|rowspan="5" colspan="2"| <center>[[立方晶系|立方]]</center>|| 23 || 23 || <math>3/2\ </math> || ''T'' ||  332 || [3,3]<sup>+</sup> || 12
|-
| <math>\color{Black}\tfrac{2}{m}</math>{{overline|3}} || m{{overline|3}} || <math>\tilde{6}/2</math> || ''T<sub>h</sub>'' ||  3*2 || [3<sup>+</sup>,4] || 24
|-
| 432 || 432 ||  <math>3/4\ </math> || ''O''  ||  432 || [4,3]<sup>+</sup> || 24
|-
| {{overline|4}}3m || {{overline|4}}3m || <math>3/\tilde{4}</math> || ''T<sub>d</sub>'' ||  *332 || [3,3] || 24
|-
| <math>\color{Black}\tfrac{4}{m}</math>{{overline|3}}<math>\color{Black}\tfrac{2}{m}</math> || m{{overline|3}}m || <math>\tilde{6}/4</math> || ''O<sub>h</sub>'' ||  *432 || [4,3] || 48
|}

==参见==
* [[分子对称性]]
* [[点群]]
* [[空间群]]
* [[三维点群]]
* [[晶系]]

== 参考资料 ==
{{reflist}}

==外部链接==
*[https://archive.today/20130704033345/http://it.iucr.org/Ab/ch12o1v0001/ Point-group symbols in International Tables for Crystallography (2006). Vol. A, ch. 12.1, pp. 818-820]
*[https://archive.today/20130704032551/http://it.iucr.org/Ab/ch10o1v0001/table10o1o2o4/ Names and symbols of the 32 crystal classes in International Tables for Crystallography (2006). Vol. A, ch. 10.1, p. 794]
*[https://web.archive.org/web/20120204104121/http://newton.ex.ac.uk/research/qsystems/people/goss/symmetry/Solids.html Pictorial overview of the 32 groups]
*[https://web.archive.org/web/20120512111555/http://webhost.bridgew.edu/shaefner/symmetry/pointgroup/tutorial.html#flowchart Point Groups - Flow Chart]

[[Category:對稱]]
[[Category:晶体学]]
[[Category:离散群]]