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在[[数学]]中，'''普法夫值'''（{{lang-en|Pfaffian}}）pf(A) 是矩阵A的[[行列式]]的[[平方根]]。若A是[[反對稱矩陣]]，
:<math>\operatorname{pf}(A)^2 = \det(A),</math>
即[[斜對稱矩陣|斜对称矩阵]]的[[行列式]]总是可以写成矩阵元素构成的[[整数|整系数]][[多项式]]的平方，且[[系数]]只取决于矩阵的大小。该多项式的值被称为该[[斜對稱矩陣|斜对称矩阵]]的'''普法夫值'''。

== 性质 ==
若A是2n x 2n的反对称矩阵
:<math>\operatorname{pf}(A^\text{T}) = (-1)^n\operatorname{pf}(A).</math>
:<math>\operatorname{pf}(\lambda A) = \lambda^n \operatorname{pf}(A).</math>
:<math>\operatorname{pf}(A)^2 = \det(A).</math>

若B是任何2n x 2n矩阵
:<math>\operatorname{pf}(BAB^\text{T})= \det(B)\operatorname{pf}(A).</math>

若''A<sup>T</sup>B''是[[正定矩阵]]
:<math>\textrm{pf}(A)\,\textrm{pf}(B) = \exp(\tfrac{1}{2}\mathrm{tr}\log(A^\text{T}B)).</math>

不然的是
:<math> \mathrm{pf}(A)\,\mathrm{pf}(B) = \tfrac{1}{n!} B_n(s_1, s_2, \ldots, s_n), \qquad \mathrm{where} \qquad s_l = - \tfrac{1}{2}(l - 1)!\,\mathrm{tr}((AB)^l)</math>
其中的''B''<sub>n</sub>(''s''<sub>1</sub>,''s''<sub>2</sub>,...,''s''<sub>n</sub>)是{{Le|贝尔多项式|Bell polynomials}}。

== 应用 ==

* [[陈-高斯-博内定理]]，[[欧拉示性数]]是[[曲率形式]]的普法夫值
* [[双体模型]] <ref>{{Cite journal|title=Lambda-determinants and domino-tilings|url=http://arxiv.org/abs/math/0406301|last=Propp|first=James|date=2004-06-15|journal=arXiv:math/0406301|access-date=2020-01-31|archive-date=2021-01-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20210101165953/https://arxiv.org/abs/math/0406301|dead-url=no}}</ref>

== 阅读 ==

* Zhang, Fuzhen, ed. The Schur complement and its applications. Vol. 4. Springer Science & Business Media, 2006.
* https://web.archive.org/web/20160305005223/http://jesusmtz.public.iastate.edu/soliton/REPORT%202.pdf<nowiki/>（[[孤子]]）
* http://alexandria.tue.nl/repository/freearticles/597510.pdf {{Wayback|url=http://alexandria.tue.nl/repository/freearticles/597510.pdf |date=20200131224428 }}

== 参考文献 ==
{{DEFAULTSORT:Pfaffian}}
[[Category:行列式]]
[[Category:多重线性代数]]