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'''普朗歇爾定理'''（又稱[[馬克-安托萬·帕塞瓦爾|帕塞瓦爾]]-普朗歇爾恒等式<ref>{{Cite book|last=Cohen-Tannoudji, Claude|last2=Dupont-Roc, Jacques|last3=Grynberg, Gilbert|title=Photons and Atoms : Introduction to Quantum Electrodynamics|year=1997|url=https://archive.org/details/photonsatomsintr00cohe_398|url-access=limited|publisher=Wiley|isbn=0-471-18433-0|page=[https://archive.org/details/photonsatomsintr00cohe_398/page/n39 11]}}</ref> ）是[[調和分析|调和分析]]的重要定理，由[[米歇爾·普朗歇爾]]于1910年证明。它指出函数[[平方]]的积分等于其[[谱密度|频谱]]的平方的积分。也就是说，如果<math>f(x) </math>是實數線上的函数，并且<math>\widehat{f}(\xi)</math>是它的频谱，那么

<math display="block">\int_{-\infty}^\infty | f(x) |^ 2 \, dx = \int_{-\infty}^\infty |\hat{f}(\xi)|^2 \, d\xi,</math>或者寫成<math>L^2</math>範數:<math display="block">||f(x)||_{L^2} = ||\hat{f}(\xi)||_{L^2}</math>

數學上更嚴格的描述是，令函数<math>f</math>同时屬於两个[[Lp空间|''L'' <sup>''p''</sup>空间]]<math>L^1(\mathbb{R})</math>和<math>L^2(\mathbb{R})</math> ，那么它的[[傅里叶变换]]<math>\hat{f}
</math>屬於<math>L^2(\mathbb{R})</math>， 且為<math>L^2(\mathbb{R})</math>中的[[等距變換]]。

這代表限制在<math>L^1(\mathbb{R}) \cap L^2(\mathbb{R})</math>上的[[傅里叶变换]]有一個唯一的等距擴張<math>L^2(\mathbb{R}) \mapsto L^2(\mathbb{R})</math>，有時候這個擴張也被稱為普朗歇爾变换。此變換同時也是[[幺正算符|幺正]]的，透過此變換，我們便可以好好的在[[平方可積函數]]上討論[[傅里叶变换|傅里叶变換]]。

普朗歇爾定理可以被推廣到''n''维[[欧几里得空间|欧氏空间]]以及[[局部紧阿贝尔群]]上，若是滿足一些其他的假設，普朗歇爾定理有另一個版本在非交换局部紧緻群上成立，更多細節可以參考[[非交换调和分析]]。

由於在<math>L^2(\mathbb{R})</math>上內積與範數是相容的，我們也可以把普朗歇爾定理应用到[[Lp空间|<math>L^2(\mathbb{R})</math>]]的[[内积空间|内积]]上。也就是說，如果<math>f(x)</math>、<math>g(x)</math>是两个在<math>L^2(\mathbb{R})</math>內的函數，<math> \mathcal P</math>表示普朗歇爾变换，则

<math display="block">\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)} \, dx = \int_{-\infty}^\infty (\mathcal P f)(\xi) \overline{(\mathcal P g)(\xi)} \, d\xi,</math>

而如果<math>f(x)</math>和<math>g(x)</math>屬於<math>L^1(\mathbb{R})</math>，有<math display="block"> (\mathcal P f)(\xi) = \widehat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-2\pi i \xi x} \, dx ,</math>以及<math display="block"> (\mathcal P g)(\xi) = \widehat{g}(\xi) = \int_{-\infty}^\infty g(x) e^{-2\pi i \xi x} \, dx ,</math>所以

<math display="block">\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)} \, dx = \int_{-\infty}^\infty \widehat{f}(\xi) \overline{\widehat{g}(\xi)} \, d\xi.</math>

== 參見 ==

* {{le|應用於球帶函數的普朗歇爾定理|Plancherel theorem for spherical functions}}

== 参考 ==

<references />

* {{Citation|doi=10.1007/BF03014877|last=Plancherel|first=Michel|author-link=Michel Plancherel|year=1910|title=Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par des intégrales définies|journal=[[Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo]]|volume=30|number=1|pages=289&ndash;335}}.
* {{Citation|first=J.|last=Dixmier|author-link=Jacques Dixmier|title=Les C*-algèbres et leurs Représentations|publisher=Gauthier Villars|year=1969}}.
* {{Citation|first=K.|last=Yosida|author-link=Kōsaku Yosida|title=Functional Analysis|publisher=Springer Verlag|year=1968}}.

== 外部链接 ==


* [http://mathworld.wolfram.com/PlancherelsTheorem.html Plancherel's Theorem] on Mathworld
[[Category:泛函分析定理]]