查看“︁普朗歇尔定理”︁的源代码

{{Merge |1=普朗歇爾定理|time=2025-03-03T13:04:50+00:00}}
在[[数学]]中， '''普朗歇尔定理'''（有时称为 Parseval-Plancherel 恒等式<ref>{{Cite book|last=Cohen-Tannoudji, Claude|last2=Dupont-Roc, Jacques|last3=Grynberg, Gilbert|title=Photons and Atoms : Introduction to Quantum Electrodynamics|year=1997|url=https://archive.org/details/photonsatomsintr00cohe_398|url-access=limited|publisher=Wiley|isbn=0-471-18433-0|page=[https://archive.org/details/photonsatomsintr00cohe_398/page/n39 11]}}</ref> ）是[[調和分析|调和分析]]的一个结果，它由[[米歇爾·普朗歇爾]]于1910年证明。它指出一个函数的模的平方的积分等于其[[傅里叶变换|频谱]]的模平方的积分。也就是说，如果 <math>f(x) </math> 是实轴上的函数，且有频谱 <math>\widehat{f}(\xi)</math> ，那么{{Equation box 1|border|indent=|title=|equation=<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 \, dx = \int_{-\infty}^\infty |\widehat{f}(\xi)|^2  \, d\xi</math>|cellpadding=6|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}}更精确的表述是，如果一个函数同时在 [[Lp空间|''L''<sup>''p''</sup> 空间]] <math>L^1(\mathbb{R})</math> 和 <math>L^2(\mathbb{R})</math> 中，那么它的[[傅里叶变换]]也在 <math>L^2(\mathbb{R})</math>  中，且傅里叶变换是关于 <math>L^2</math> 范数的等距映射。这意味着， <math>L^1(\mathbb{R}) \cap L^2(\mathbb{R})</math> 上的傅里叶变换可以唯一地扩张为一个 <math>L^2(\mathbb{R}) \mapsto L^2(\mathbb{R})</math> 的[[等距同构]] ，后者有时称为普朗歇尔变换。这个等距同构实际上是一个[[幺正算符|幺正]]映射。实际上，这使得[[平方可積函數|平方可积函数]]的傅里叶变换成为可能。

普朗歇尔定理在 ''n'' 维[[欧几里得空间|欧几里德空间]] <math>\mathbb{R}^n</math> 上仍然有效 。更一般地，该定理对[[局部紧阿贝尔群]]也成立。对于满足某些技术上的假定的非交换局部紧群，还有另一个版本的普朗歇尔定理。这是[[非交换调和分析]]的主题。

[[傅里叶变换]]的幺正性在科学和工程领域通常被称为[[帕塞瓦尔定理]]，该定理基于一个用于证明[[傅里叶级数]]幺正性的早期结果（但不那么具有一般性）。

借助[[极化恒等式]]，我们还可以将普朗歇尔定理用于计算 [[Lp空间|<math>L^2(\mathbb{R})</math>]] 中两个函数的[[内积空间|内积]]。也就是说，设 <math>f(x)</math> 和 <math>g(x)</math> 是两个 <math>L^2(\mathbb{R})</math> 中的函数，而 <math> \mathcal P</math> 表示普朗歇尔变换，则<math display="block">\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)} \, dx = \int_{-\infty}^\infty (\mathcal P f)(\xi) \overline{(\mathcal P g)(\xi)} \, d\xi,</math>若 <math>f(x)</math> 和 <math>g(x)</math> 还是 <math>L^1(\mathbb{R})</math> 函数，那么还有<math display="block"> (\mathcal P f)(\xi) = \widehat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-2\pi i \xi x} \, dx ,</math>和<math display="block"> (\mathcal P g)(\xi) = \widehat{g}(\xi) = \int_{-\infty}^\infty g(x) e^{-2\pi i \xi x} \, dx ,</math>于是有{{Equation box 1|border|indent=|title=|equation=<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)} \, dx = \int_{-\infty}^\infty \widehat{f}(\xi) \overline{\widehat{g}(\xi)} \, d\xi.</math>|cellpadding=6|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}}
== 参考文献 ==
<references />

* {{Citation|doi=10.1007/BF03014877|last=Plancherel|first=Michel|author-link=Michel Plancherel|year=1910|title=Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par des intégrales définies|journal=[[Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo]]|volume=30|number=1|pages=289&ndash;335}}.
* {{Citation|first=J.|last=Dixmier|author-link=Jacques Dixmier|title=Les C*-algèbres et leurs Représentations|publisher=Gauthier Villars|year=1969}}.
* {{Citation|first=K.|last=Yosida|author-link=Kōsaku Yosida|title=Functional Analysis|publisher=Springer Verlag|year=1968}}.

== 外部链接 ==

* {{Springer|title=Plancherel theorem|id=p/p072770}}
* [http://mathworld.wolfram.com/PlancherelsTheorem.html Plancherel's Theorem] on Mathworld
{{泛函分析}}
[[Category:泛函分析]]
[[Category:调和分析定理]]