查看“︁普拉托问题”︁的源代码

{{no footnotes|time=2019-8-7}}

'''普拉托问题'''（{{lang-en|Plateau's problem}}）是[[数学]]中与[[极小曲面]]有关的一类问题，旨在研究在边界固定时极小表面的存在性。此问题最早由18世纪的法国数学家[[约瑟夫·拉格朗日|拉格朗日]]在1760年提出。而之后比利时人[[约瑟夫·普拉托]]在19世纪进行了大量关于[[皂液膜]]（[[肥皂泡]]）的实验，并总结出了一些与极小曲面以及此问题有关的定律（[[普拉托定律]]）。普拉托问题是[[变分法]]研究的一个分支。普拉托问题中的极小曲面的存在性以及其[[正则性]]（是否[[微分|可微]]，是否[[光滑函数|光滑]]等等）是[[集合测度论|几何测度理论]]的研究对象。
数学家们首先从解决普拉托问题的各种约束下的特殊情况开始。1930年，[[杰西·道格拉斯]]和[[蒂波·拉多]]得到了在映照（浸入）参照下的一般解。两人的方法有很大差别。拉多的方法建立在加尼尔的工作上，只能证明边界为[[可求长曲线|可求长]]的简单闭曲线的情况。道格拉斯则运用了全新的思路，对任意的简单闭曲线都适用。两人的方法都包括了求解最小值问题，不同之处为道格拉斯最小化的对象是现在称为“道格拉斯积分”的积分式，而拉多最小化的对象是类似于保守场的“能量”。道格拉斯因这方面的工作获得了1936年的[[菲尔兹奖]].

更高维度空间中的普拉托问题（关于''n''维欧几里得空间<math>\mathbb{R}^n</math>中的''k''维曲面上极小曲面的问题）比三维空间中曲面的普拉托问题更为困难。不仅如此，与三维空间中曲面的普拉托问题的解总是正则的特性不同，研究发现扩展到高维空间中的普拉托问题的解在 ''k''&nbsp;≤&nbsp;''n''&nbsp;&minus;&nbsp;2 可能出现不规则的奇点。当曲面是[[超平面]]的时候（即曲面维度 ''k''&nbsp;=&nbsp;''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1 的时候），则只在空间维度 ''n''&nbsp;≥&nbsp;8 的时候解会出现不规则的奇点。

==参见==
* [[狄利克雷原理]]
* [[普拉托定律]]
* [[伸展网格方法]]
* [[等周定理]]
* [[挂谷集合]]
* [[移动沙发问题]]

==参考来源==
{{refbegin}}
* {{cite journal
 | last = Douglas | first = Jesse
 | title = Solution of the problem of Plateau
 | journal = ''Trans. Amer. Math. Soc.''
 | volume = 33
 | year = 1931
 | issue = 1
 | pages = 263–321
 | doi = 10.2307/1989472
 | jstor = 1989472
 | publisher = Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 33, No. 1
 }}
* {{cite book
  | last = Fomenko | first = A.T. | title = ''The Plateau Problem: Historical Survey''
  | url = https://archive.org/details/plateauproblem0000fome | publisher = Gordon & Breach | year = 1989 | location = Williston, VT
  | isbn = 978-2881247002}}
* {{cite book
  | last = Morgan | first = Frank | title = ''Geometric Measure Theory: a Beginner's Guide''
  | publisher = Academic Press | year = 2009
  | isbn = 978-0-12-374444-9}}
*{{springer|author=O'Neil, T.C.|id=G/g130040|title=''Geometric Measure Theory''}}
* {{cite journal
 | first = Tibor | last = Radó
 | title = On Plateau's problem
 | journal = ''Ann. Of Math. (2)''
 | volume = 31
 | year = 1930
 | pages = 457–469
 | doi = 10.2307/1968237
 | jstor = 1968237
 | issue = 3
 | publisher = The Annals of Mathematics, Vol. 31, No. 3
 }}
* {{cite book
  | last = Struwe | first = Michael | title = ''Plateau's Problem and the Calculus of Variations''
  | publisher = Princeton University Press | year = 1989 | location = Princeton, NJ
  | isbn = 978-0691085104}}
{{refend}}

{{DEFAULTSORT:Plateau's problem}}
[[Category:极小曲面]]
[[Category:数学问题]]