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{{Unreferenced|time=2024-10-21T01:10:22+00:00}}
[[数学]]上，'''普吕克坐标'''是将[[射影空间|射影三维空间]]中的每条线给予6个齐次坐标，也就是一个射影5维空间中的一点。普吕克坐标由[[尤利乌斯·普吕克]]于1844年给出。

==定义==

令L为一直线，穿过点<math>p(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})</math>和点<math>q(y_{0},y_{1},y_{2},y_{3})</math>。

定义<math>p_{ij}</math>为<math>\begin{pmatrix} x_{i} & x_{j}\\y_{i}& y_{j}\end{pmatrix}=x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}</math>的行列式。

这蕴涵着<math>p_{ii}=0</math>和<math>p_{ij}=-p_{ji}</math>.

考虑六元组<math>(p_{01},p_{02},p_{03},p_{23},p_{31},p_{12})</math>。不是所有6个都可以同时为0，因为如果是的话，所有<math>\begin{pmatrix} x_0 & x_1 & x_2 & x_3 \\ y_0 & y_1 & y_2 & y_3 \end{pmatrix}</math>的<math>2\times 2</math>子矩阵都是零，则该矩阵最多秩为1，这个p及q为不同点的假设不符。

p和q的选取对于6元组的影响只是一个非零因子，如下所示：

考虑<math>p'(x'_{0},x'_{1},x'_{2},x'_{3})</math>和<math>q'(y'_{0},y'_{1},y'_{2},y'_{3})</math>为L上不同点，其中<math>x'_{i}=k_{1}x_{i}+l_{1} y_{i}</math>而<math>y'_{i}=k_{2}x_{i}+l_{2} y_{i}</math>。 p'和q'不同的假设归结为<math>k_{1} l_{2}-k_{2}l_{1}\neq 0</math>。 可以检验：<math>\begin{pmatrix} x'_{i} & x'_{j}\\y'_{i}& y'_{j}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} k_{1} & l_{1}\\k_{2}& l_{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{i} & x_{j}\\y_{i}& y_{j}\end{pmatrix}</math>
这样，<math>(p'_{01},p'_{02},p'_{03},p'_{23},p'_{31},p'_{12})=(k_{1}l_{2}-k_{2}l_{1})(p_{01},p_{02},p_{03},p_{23},p_{31},p_{12}) </math> 

称W为所有PG(3,K)中的直线的集合。我们现在恰当地定义一个映射<math>\alpha</math>：从W到一个K上的5维射影空间：
<math>\alpha : W\rightarrow PG(5,K):L\rightarrow L^{\alpha}=(p_{01},p_{02},p_{03},p_{23},p_{31},p_{12})</math>

==到克莱因二次曲面的单射性和满射性==

[[Category:射影几何|P]]
[[Category:坐标系]]
[[Category:多重线性代数|P]]
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