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[[File:Mapping cone.PNG|right|thumb|映射锥示意图]]

在[[数学]]，特别是[[同伦论]]中，'''映射锥'''（{{lang|en|mapping cone}}）是一个[[拓扑]]构造 <math>C_f</math>。它也称为'''同伦上纤维'''（{{lang|en|homotopy cofiber}}），也记成 <math>Cf .</math>

== 定义 ==

给定[[连续函数 (拓扑学)|映射]] <math>f\colon X \to Y</math>，映射锥 <math>C_f</math> 定义为  <math>(X \times I) \sqcup Y</math> 关于[[等价关系]] <math>(x, 0) \sim (x',0)\,</math>, <math>(x,1) \sim f(x)\,</math> 的[[商拓扑]]空间。这里 <math>I</math> 表示带标准拓扑的单位区间 [0,1]。注意有些人（比如[[乔·彼得·梅]]）使用相反的约定，交换 0 与 1 的地位。

=== 以圆周为例 ===
如果 <math>X</math> 是[[圆周]] ''S<sup>1</sup>''，''C<sub>f</sub>'' 可以视为 ''Y'' 与[[圆盘 (数学)|圆盘]] ''D<sup>2</sup>'' 的[[不交并]]将 ''D<sup>2</sup>'' 的[[边界 (拓扑学)|边界]]上的点 ''x'' 与 ''Y'' 中的点 ''f(x)'' 等价起来得到的[[商空间]]。

比如考虑当 ''Y'' 是圆盘 ''D''<sup>2</sup> 的情形，映射

:''f'': ''S''<sup>1</sup> &rarr; ''Y'' = D''<sup>2</sup>

是 ''S''<sup>1</sup> 作为 ''D''<sup>2</sup> 边界的标准包含。则映射锥 ''C<sub>f</sub>'' [[同胚]]于把两个圆盘连接起来，拓扑上就是球面 ''S<sup>2</sup>'' 也是通常的带底圆锥面。

=== 双映射柱 ===

映射锥是双[[映射柱]]的特例。双映射柱是一个圆柱的一个底与空间 ''X<sub>1</sub>'' 通过映射

:''f''<sub>1</sub>: ''S''<sup>1</sup> &rarr; ''X''<sub>1</sub>

黏贴，而另一个底与空间 ''X<sub>2</sub>'' 通过映射

:''f''<sub>2</sub>: S<sup>1</sup> &rarr; ''X''<sub>2</sub>. 

黏贴。映射锥是双映射锥（也称为拓扑[[推出]]）的退化情形，其中一个空间是一个单点。

== 应用 ==
===CW-复形===
CW-复形经常通过映射锥添加一个[[胞腔]]。

===对基本群的影响===
给定空间 ''X'' 与环路

:<math>\alpha\colon S^1 \to X</math> 

代表了 ''X'' 的[[基本群]]中的一个元素，我们可构造一个映射锥 ''C<sub>&alpha;</sub>''。其效果是使得环路  ''&alpha;'' 在 ''C<sub>&alpha;</sub>'' 中[[可缩]]，从而 ''&alpha;'' 在  ''C<sub>&alpha;</sub>'' 的基本群中的[[等价类]]是[[单位元素]]。

给一个有生成子与关系[[群的呈示|呈示]]的群，我们得到了一个具有那个基本群的 2-复形。

=== 空间偶的同调 ===
映射锥将[[空间偶]]的[[同调]]变成商空间的简约同调：

如果 ''E'' 是一个[[同调理论]]，<math>i\colon A \to X</math> 是一个包含，则 <math>E_*(X,A) = E_*(X/A,*) = \tilde E_*(X/A)</math>，对映射锥使用[[切除定理]]可得到<ref>{{Cite web |url=http://www.math.uchicago.edu/~may/CONCISE/ConciseRevised.pdf |title=Peter May "A Concise Course in Algebraic Topology", section 14.2 |access-date=2008-12-05 |archive-date=2020-11-09 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201109041225/http://www.math.uchicago.edu/~may/CONCISE/ConciseRevised.pdf |dead-url=no }}</ref>。

== 另见 ==
* {{le|映射锥 (同调代数)|Mapping cone (homological algebra)}}

==引用==
<references />

== 參考文獻 ==

{{reflist}}

[[Category: 代数拓扑|Y]]