查看“︁映射柱”︁的源代码

在[[数学]]的[[代数拓扑]]分支中，[[拓扑空间]] <math>X</math> 与 <math>Y</math> 之间[[连续函数 (拓扑学)|函数]] <math>f</math> 的'''映射柱'''（{{lang|en|mapping cylinder}}）是将任何一个映射用一个在如下意义下等价的[[上纤维化]]代替的方法：

给定映射 <math>f\colon X \to Y</math>，映射柱由一个空间 <math>M_f</math> 与一个上纤维化 <math>\tilde f\colon X \to M_f</math> 以及[[满射|满]][[同伦等价]] <math>M_f \to Y</math>（事实上，''Y'' 是<math>M_f</math> 的[[形变收缩]]）组成，使得[[函数复合|复合]] <math>X \to M_f \to Y</math> 等于 ''f''。
[[File:Mapping cylinder.png|right]]

这样空间 ''Y'' 被一个同伦等价的空间<math>M_f</math> 取代，映射 ''f'' 被提升映射 <math>\tilde f</math> 代替。等价地，图表
:<math>f\colon X \to Y</math>
被图表
:<math>\tilde f\colon X \to M_f</math>
与这两个图表之间的一个同伦等价取代。

这个构造用于将拓扑空间之间的映射用拓扑等价的上纤维化取代。注意逐点一个上纤维化是一个闭[[单射|包含映射]]。

==构造==

''M<sub>f</sub>'' 的正式定义如下：
:<math>M_f = ((X \times I) \coprod Y)/(x,1) \sim f(x),</math>
这里 <math>I</math> 是[[单位区间]]，<math>\coprod</math> 表示两个拓扑空间的[[不交并]]，<math>\sim</math> 是把 <math>(x,1) \in X \times I</math> 与 <math>f(x) \in Y</math> 等同起来的等价关系（将柱 <math>X \times I</math> 的一个底面通过 ''f'' 与 ''Y'' 黏合起来）。

从而非正式地说，映射柱 <math>M_f</math> 是把 <math>X \times I</math> 的一个底面用 ''f'' 黏贴到 ''Y'' 得到的构造。

定义 <math>X \to M_f</math> 为 <math>x \mapsto (x,0) \in X \times I</math>（将 ''X'' 包含到另一个底面）。定义  <math>M_f \to Y</math> 为 <math>(x,t) \in X \times I \mapsto f(x) \in Y</math> 而在 ''M<sub>f</sub>'' 的 ''Y'' 部分为恒同。根据等价关系 ''~'' 这是[[良定义]]的。

注意到 ''Y'' 是 <math>M_f</math> 的[[形变收缩]]。

投影 <math>M_f \to Y</math> [[分裂 (生物学)|分裂]]（通过 <math>y \in Y \mapsto Y \in Y \subset M_f</math>），形变收缩（取时间参数为 ''s''）由下式给出：
:<math>\begin{cases}(x,t) \mapsto (x,t+s) \in X \times I & t+s \leq 1\\
(x,t) \mapsto f(x) \in Y& t+s \geq 1
\end{cases}</math>
（这里所有 ''Y'' 中的点不动，从而是一个形变收缩。）

==应用==
映射柱将关于[[子空间]]或空间包含的定理运用到到不必是[[单射]]的一般映射。

因此，那些与空间、所涉及映射的同伦类无关的定理或方法（比如[[同调]]、[[上同调]]或[[同伦理论]]本身）可能可适用到 <math>X, Y, f</math>，这里假设 <math>X \subset Y</math> 以及 <math>f</math> 事实上是子空间的包含。另外，这个构造更本质的吸引之处是它与通常心理的印象一个函数是将 <math>X</math> 中的点“送到” <math>Y</math> 中的点一致，从而 <math>X</math> 嵌入 <math>Y</math> 中也是（尽管函数不必是一对一的）。这个构造给出了一个图像同伦等价于直觉的那个，这表明直觉图像是正确的只要 <math>Y</math> 的形变不是一个[[阻碍理论|阻碍]]。

===范畴应用与解释===
我们可以用映射柱构造同伦极限：给定一个图表，将其中的映射用上纤维化代替（利用映射柱），然后取通常的逐点极限（需多些注意，但映射柱是其中一部分）。

相反地，映射柱是图表的同伦[[推出 (范畴论)|推出]]，这里 <math>f\colon X \to Y</math> 而 <math>\text{id}_X\colon X \to X</math> 。

===映射望远镜===
给定映射序列
:<math>X_1 \to_{f_1} X_2 \to_{f_2} X_3 \cdots ,</math>
映射望远镜是同伦[[正向极限]]。如果所有这些映射已经是上纤维化（比如[[正交群]] <math>O(n) \subset O(n+1)</math>），则正向极限是[[并集]]，但是一般情形必须使用映射望远镜。映射望远镜是一个映射柱序列，底面和底面相连。这个构造的图像看起来像堆起来的变大的柱子，即像一个望远镜，从而有这样的名称。

映射望远镜的正式定义为
:<math>\coprod_i X_i \times I / (x_i,1) \sim (f(x_i),0) .</math>

==和同伦（同调）等价的关系==
一个映射 <math> f:X\rightarrow Y</math> 是一个[[同伦等价]]，当且仅当它的映射柱[[可缩空间|可缩]]。

设 <math> \mathbb{}H_*</math> 设一个固定的[[同调理论]]。映射 <math> f:X\rightarrow Y</math> 诱导了  <math>\mathbb{}H_*</math> 上的同构，当且仅当映射 <math> \{\cdot\}\hookrightarrow C_f</math> 诱导了 <math> \mathbb{}H_*</math> 上的同构，即 <math> \mathbb{}H_*(C_f,pt)=0</math>。


==另见==

* [[映射柱 (同调代数)]]
* [[非豪斯多夫映射柱]]

==参考文献==
* 姜伯驹，同调论，北京大学出版社，2006年2月。

[[Category:代数拓扑|Y]]