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在[[拓扑学]]中，两个同[[维数]][[流形]]之间的[[连续函数 (拓扑学)|连续映射]]的'''度数'''（{{lang|en|degree}}）非正式地说是一个点被盖住的次数。一个映射的度数可用[[同调群]]，或（对光滑映射）[[正则值]]的[[原像]]定义。它是[[卷绕数]]的一个推广。例如，考虑[[复平面]]上映射 ''z<sup>n</sup>''，视为 [[黎曼球面|''S''<sup>2</sup>]] 到自身的映射，具有度数 ''n''，它将球面绕自身缠了 ''n'' 圈。

在[[物理学]]中，连续映射的度数，比如从空间到有序参数集的一个映射，是[[拓扑量子数]]的一个例子。

==从一个圆周到自身==

最简单也最重要的例子是从圆周到自身一个连续映射的度数（这称为卷绕数）：

:<math>f\colon S^1\to S^1. \,</math>

存在投影：

:<math>\mathbb R \to S^1= \mathbb R/ \mathbb Z \,</math>,  <math>x\mapsto [x],</math> 

这里 [''x''] 是 ''x'' [[同余|模]] 1 等价类（即 <math>x\sim y</math> 当且仅当 <math>x-y</math> 是整数）。 

如果

:<math>f : S^1 \to S^1 \,</math> 

连续则存在一个连续映射

:<math>F :\mathbb R \to  \mathbb R,</math>

称为 ''f'' 到 <math>\mathbb R</math> 的[[提升 (数学)|提升]]，使得 ''f''([''z'']) = [''F''(''z'')]。这样一个提升在差一个整数相加下惟一确定，且

:<math>\deg(f)= F(x + 1)-F(x). \,</math>

注意到

:<math>F(x + 1)-F(x) \,</math> 

是一个整数且关于 <math>x</math> 也连续；实数线上[[局部常值函数]]一定是常数。从而此定义与 <math>x</math> 的选择无关。

==流形之间==

=== 代数拓扑 ===

设 ''X'' 与 ''Y'' 是一个闭[[联通空间|连通]][[定向 (数学)|定向]] ''m''-维[[流形]]。流形的定向性蕴含最高阶[[同调群]]同构于 '''Z'''。选取一个定向意味着选取最高阶同调群的一个生成元。

一个连续映射 ''f'' : ''X''&rarr;''Y'' 诱导从 ''H<sub>m</sub>''(''X'') 到 ''H<sub>m</sub>''(''Y'') 的同态 ''f''<sub>*</sub>。设 [''X''] 是选定的 ''H<sub>m</sub>''(''X'') 的生成元，或言 ''X'' [[基本类]]。则 ''f'' 的'''度数'''定义为''f''<sub>*</sub>([''X''])。换句话说，

:<math>f_*([X])=\deg(f)[Y] \, .</math>

如果 ''y'' 属于 ''Y'' 且 ''f''<sup>-1</sup>(''y'') 是一个有限集合，''f'' 的度数可以通过考虑 ''X'' 在 ''f''<sup>-1</sup>(''y'') 每个点的 ''m''-阶[[相对同调|局部同调群]]计算出来。

=== 微分拓扑 ===

在[[微分拓扑]]的语言中，一个连续映射的度数可如下定义：如果 ''f'' 是一个连续映射，定义域是一个紧流形，设 ''p'' 是 ''f'' 的一个[[正则值]]，考虑有限集合

:<math>f^{-1}(p)=\{x_1,x_2,..,x_n\} \,.</math> 

由 ''p'' 是一个正则值，在每个 ''x<sub>i</sub>'' 的一个邻域中映射 ''f'' 是局部[[微分同胚]]（这是一个[[覆盖映射]]）。微分同胚可以为保持定向或反定向。设 ''r'' 是 ''x''<sub>i</sub> 中 ''f'' 保持定向的个数，而 ''s'' 是反定向的个数。当 ''f'' 的定义域是连通的，数 ''r'' - ''s'' 与 ''p'' 的选取无关，我们定义 ''f'' 的度数为 ''r'' - ''s''。这个定义与上一节代数拓扑定义重合。

同样的定义对带[[边界 (拓扑学)|边界]]的紧流形也成立，但此时 ''f'' 需将 ''X'' 的边界送到 ''Y'' 的边界。 

我们也可以像上面一样类似定义'''模 2 度数''' (deg<sub>2</sub>(''f''))，取 '''Z'''<sub>2</sub> 同调中的基本类即可。在此情形 deg<sub>2</sub>(''f'') 是 '''Z'''<sub>2</sub> 中一个元素，流形不要求可定向。与上类似，如果 ''n'' 是 ''p'' 原像的个数，则 deg<sub>2</sub>(''f'') 是 ''n'' 模 2。

[[微分形式]]的积分给出 （C<sup>&infin;</sup>-）[[奇异同调]]与[[德拉姆上同调]]之间的一个配对：<[''c''], [''&omega;'']> = ∫<sub>''c''</sub>''&omega;''，这里 [''c''] 是由圈 '''c''' 代表的同调类，''&omega;'' 是代表一个德拉姆上同调类的一个闭形式。对定向 ''m''-维流形之间的一个连续映射 ''f'' : ''X''&rarr;''Y''，我们有

:<math>\langle f_* [c], [\omega] \rangle = \langle [c], f^*[\omega] \rangle,</math>

这里 ''f''<sub>*</sub> 与 ''f''* 分别是在链与形式上的诱导映射。因为 ''f''<sub>*</sub>[''X''] = deg ''f'' · [''Y'']，我们有

:<math>\deg f \int_Y \omega  = \int_X f^*\omega \,</math>

对任意 ''Y'' 上 ''m''-形式 ''&omega;''。

==性质==
[[Image:Sphere wrapped round itself.png|200px|thumb|right|从球面到自身度数为 2 的一个映射。]]

映射度是[[同伦]]不变量；而且从球面到自身的连续映射是完全同伦不变量，即两个映射 <math>f,g:S^n\to S^n \,</math> 同伦当且仅当 <math>\deg(f) = \deg(g)</math>。

换句话说，度数是一个同构 <math>[S^n,S^n]=\pi_n S^n \to \mathbf{Z}</math>。

==相关条目==
*{{le|拓扑度数理论|Topological degree theory}}

==参考文献==
* {{cite book|author=Flanders, H.|title=Differential forms with applications to the physical sciences|publisher=Dover|year=1989}}
* {{cite book|author=Hirsch, M.|title=Differential topology|publisher=Springer-Verlag|year=1976|isbn=0-387-90148-5}}

[[Category:代数拓扑]]
[[Category:连续映射]]