查看“︁星标变换”︁的源代码

{{noteTA
|T=zh-hans:加星标变换; zh-tw:加星标轉換;
|G1=Math
|1=zh-hans:复变量;zh-hk:複變數;zh-tw:複變數;
|2=zh-hans:复平面;zh-hk:複平面;zh-tw:複平面;
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}}

在应用数学中，'''加星标变换'''（{{lang-en|Starred transform}}）是一种[[离散]]时间的[[拉普拉斯变换]]的变形，之所以如此命名是因为[[采样信号]]的惯常表示中使用星号。加星标变换作用在连续时间函数 <math>x(t)</math>上，变换为 <math>X^*(s)</math> 有以下公式:


<math>X^*(s)=\mathcal{L}[x(t)\cdot\delta_T(t)]=\mathcal{L}[x^*(t)]</math>


<math>\delta_T(t)</math> 即是[[狄拉克δ函数]]在多周期的形式[[狄拉克梳状函数]](Dirac comb function)。

加星标变换是一种边界的数学抽象，表示了脉冲采样函数 <math>x^*(t)</math> 的[[拉普拉斯变换]]，脉冲采样函数是理想采样器的输出，而理想采样器的输入时连续函数 <math>x(t)</math>。

加星标变换类似于[[Z变换]]，指示变量有简单的变化。加星标变换明确声明其是在采样周期上变换，而[[Z变换]]是作用在离散的信号上而且与采样周期无关。这使得加星标变换成为单边[[Z变换]]的[[去规范化]]版本，因为加星标变换保留了对于样本参数T的依赖性。

== 与拉普拉斯变换的关系 ==
因为有<math>X^{*}(s)=\mathcal{L}[x^{*}(t)]</math>，对<math>x^{*}(t)</math>有:

<math>x^{*}(t)\overset{\text{def}}{=}x(t)\cdot\delta_T(t)=x(t)\cdot\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\delta(t-nT)</math>

对于[[卷积定理]]，加星标变换等同于 <math>\mathcal{L}[x(t)]=X(s)</math> 和 <math>\mathcal{L}[\delta_T(t)]=\frac{1}{1-e^{-Ts}}</math> 的复[[卷积]]，所以有:

<math>X^{*}(s)=\frac{1}{2\pi j}\int_{c-j\infty}^{c+j\infty}X(p)\cdot\frac{1}{1-e^{T(s-p)}}\cdot dp</math>

此线积分等同于沿着由一条线和无限半圆组成的闭合路径在正方向上的积分，这个闭路径将 <math>X(s)</math>的极点包在<math>p</math>的左半平面内。如此积分的结果(通过[[留数定理]]):

<math>X^{*}(s)=\displaystyle\sum_{\lambda=poles\, of\, X(s)}Res_{p=\lambda}[X(p)\frac{1}{1-e^{-T(s-p)}}]</math>

上面的[[线积分]]等效于沿着该线和包括p右半平面的无穷远的无限半圆形成的闭合路径在负方向上的积分，即为:

<math>X^{*}(s)=\frac{1}{T}\displaystyle\sum_{k=\infty}^{\infty}X(s-j\frac{2\pi}{T}k)+\frac{x(0)}{2}</math>

==与Z变换的关系==

给定[[Z变换]]，<math>X(z)</math> 相应的加星标变换即是下面简单的替换:


<math>X^{*}(s)=X(z)|_{z=e^{sT}}</math>


此变换保留了对T的依赖。

'''注意''' 这是可交换的

<math>X(z)=X^{*}(s)|_{e^{sT}=z}</math>


<math>X(z)=X^{*}|_{s=\frac{\ln(z)}{T}}</math>

==加星标变换的性质==
'''性质1''': <math>X^{*}(s)</math> 是关于 <math>s</math> 的以 <math>j\frac{2\pi}{T}</math> 为周期的周期函数

<math>X^*(s+j\frac{2\pi}{T}k)=X^{*}(s)</math>

'''性质2''':若 <math>X(s)</math> 在 <math>s=s_1</math>有极点，则有 <math>X^{*}(s)</math> 必在 <math>s=s_1+j\frac{2\pi}{T}k(k=0, \pm1, \pm2, \cdots)</math> 有极点

==相关条目==
*[[拉普拉斯变换]]
*[[Z变换]]
*[[卷积]]

==参考书目、资料来源==
{{reflist}}

* Bech, Michael M. ("Digital Control Theory")[http://homes.et.aau.dk/mmb/DigitalControlTheory/WS3/WP3_2.pdf] {{Wayback|url=http://homes.et.aau.dk/mmb/DigitalControlTheory/WS3/WP3_2.pdf |date=20140221214936 }} (PDF). AALBORG University. Retrieved 5 February 2014.

* Gopal, M. (March 1989). Digital Control Engineering. John Wiley & Sons. ISBN 0852263082.

* Phillips and Nagle, "Digital Control System Analysis and Design", 3rd Edition, Prentice Hall, 1995. ISBN 0-13-309832-X


[[Category:积分变换]]