查看“︁星形正多面體”︁的源代码

{{NoteTA|G1=Math}}
'''星形正多面體'''（'''克卜勒-龐索特多面體'''）是一類[[非凸多面體]]，共有四個。它們的表面均為[[正多邊形]]或[[星形正多邊形]]，且每個[[頂點 (幾何)|頂點]]都有相同數目的[[邊 (幾何)|邊]]連接。

{| class="wikitable"
!透视图
!立体图
!名稱
![[施萊夫利符號|施氏符號]]
!點
!邊
!面
![[歐拉特徵數|X]]
![[對偶多面體]]
!外接立體
!內接立體
![[點群]]
|-
| [[File:SmallStellatedDodecahedron.jpg|100px]]
| [[File:Small stellated dodecahedron.png|100px]]
| [[小星形十二面體]]
| {5/2,5}
| 12
| 30
| [[五角星]]×12
| -6
| 大十二面體
| [[正十二面體]]
| [[正二十面體]]
| <math>I_h</math>群
|-
| [[File:GreatDodecahedron.jpg|100px]]
| [[File:Great dodecahedron.png|100px]]
| [[大十二面體]]
| {5,5/2}
| 12
| 30
| [[正五邊形]]×12
| -6
| 小星形十二面體
| 正二十面體
| 正十二面體
| <math>I_h</math>群
|-
| [[File:GreatStellatedDodecahedron.jpg|100px]]
| [[File:Great stellated dodecahedron.png|100px]]
| [[大星形十二面體]]
| {5/2,3}
| 20
| 30
| 五角星×12
| 2
| 大二十面體
| 正十二面體
| 正十二面體
| <math>I_h</math>群
|-
| [[File:GreatIcosahedron.jpg|100px]]
| [[File:Great icosahedron.png|100px]]
| [[大二十面體]]
| {3,5/2}
| 12
| 30
| 等邊[[三角形]]×20
| 2
| 大星形十二面體
| 正二十面體
| 正二十面體
| <math>I_h</math>群
|}

== 性質 ==
皮特里多邊形是指兩個連續邊都屬於[[多面體]]的一個面，但三邊不屬多面體的面的[[不共面多邊形]]。[[哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特]]證明了若[[正多面體]]<math>{p,q}</math>的皮特里多邊形有<math>h</math>邊，則有

: <math>\cos^2{\frac{\pi}{p}} + \cos^2{\frac{\pi}{q}} = \cos^2{\frac{\pi}{h}}</math>。

除了<math>p,q,h</math>均為正整數時，有5組解，對應5個正多面體。當<math>p,q,h</math>為正有理數時，有多4組解，分別對應4個克卜勒-龐索特多面體。

== 歷史 ==
* 14世紀Paolo Uccello的畫作出現了小星形十二面體。
* 15世紀Wenzel Jamnitzer發現小星形十二面體和大星形十二面體。
* 1619年[[開普勒]]重新發現了小星形十二面體和大星形十二面體，並將它們和正多面體連繫起來。
* 1809年[[路易斯·龐索]]發現了大十二面體和大二十面體。因此這些多面體以開普勒和龐索命名。
* 1859年[[阿瑟·凱萊]]敲定了這些形狀的名字。<ref>{{cite journal| first = Arthur | last = Cayley | author-link = 阿瑟·凱萊| title = On Poinsot's Four New Regular Solids |trans-title = 論龐索的四種新正立體|journal = Phil. Mag.|volume = 17 | pages = 123–127 and 209 | year = 1859}}</ref>

== 參見 ==

* [[正多面體]]
* [[星形多面體]]

== 參考文獻 ==
{{refbegin|2}}
{{Reflist}}
# [[Joseph Bertrand|J. Bertrand]], Note sur la théorie des polyèdres réguliers, ''Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences'', '''46''' (1858), pp.&nbsp;79–82, 117.
# [[Augustin-Louis Cauchy]], ''Recherches sur les polyèdres.'' J. de l'École Polytechnique 9, 68-86, 1813.
# [[Arthur Cayley]], On Poinsot's Four New Regular Solids. ''Phil. Mag.'' '''17''', pp.&nbsp;123–127 and 209, 1859.
# [[John Horton Conway|John H. Conway]], Heidi Burgiel, [[Chaim Goodman-Strauss]], ''The Symmetry of Things'' 2008, {{isbn|978-1-56881-220-5}} (Chapter 24, Regular Star-polytopes, pp.&nbsp;404–408)
# ''Kaleidoscopes: Selected Writings of [[Harold Scott MacDonald Coxeter|H. S. M. Coxeter]]'', edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, {{isbn|978-0-471-01003-6}} [http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html] {{Wayback|url=http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html |date=20160711140441 }}
#* (Paper 1) H.S.M. Coxeter, ''The Nine Regular Solids'' [Proc. Can. Math. Congress 1 (1947), 252–264, MR 8, 482]
#* (Paper 10) H.S.M. Coxeter, ''Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ)'' [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
# P. Cromwell, ''Polyhedra'', Cabridgre University Press, Hbk. 1997, Ppk. 1999.
# [[Theoni Pappas]], (The Kepler–Poinsot Solids) ''The Joy of Mathematics''. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, p.&nbsp;113, 1989.
# [[Louis Poinsot]], Memoire sur les polygones et polyèdres. ''J. de l'École Polytechnique'' '''9''', pp.&nbsp;16–48, 1810.
# Lakatos, Imre; ''Proofs and Refutations'', Cambridge University Press (1976) - discussion of proof of Euler characteristic
# {{cite book | first=Magnus | last=Wenninger | authorlink=Magnus Wenninger  | title=Dual Models | publisher=Cambridge University Press | date=1983 | isbn=0-521-54325-8 }}, pp.&nbsp;39–41.
# [[John Horton Conway|John H. Conway]], Heidi Burgiel, [[Chaim Goodman-Strauss]], ''The Symmetries of Things'' 2008, {{isbn|978-1-56881-220-5}} (Chapter 26. pp.&nbsp;404: Regular star-polytopes Dimension 3)
# {{cite book | author= Anthony Pugh | date= 1976 | title= Polyhedra: A Visual Approach | publisher= University of California Press Berkeley | location= California | isbn= 0-520-03056-7  }} Chapter 8: Kepler Poisot polyhedra
{{refend}}

{{星形正多面体}}
{{廣義的正多面體}}
{{約翰尼斯·克卜勒}}

[[Category:多面体]]
[[Category:多面体类型]]
[[Category:星形多面体]]
[[Category:星形正多面體|*]]
[[Category:约翰内斯·开普勒]]
[[Category:非凸多面體]]