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[[Image:Star domain.svg|right|thumb|星形域（星形凸集）不一定是通常意义下的[[凸集]]。]]
[[Image:Not-star-shaped.svg|right|thumb|[[环形]]不是星形域。]]
在数学中，一个[[欧几里得空间]]'''R'''<sup>''n''</sup>中的[[集合 (數學)|集合]]<math>S</math>称为'''星形域（star domain）'''或'''星形凸集（star-convex set）'''，意思是存在<math>S</math>中的点<math>x_0</math>，使得对于<math>S</math>中的所有<math>x</math>，从<math>x_0</math>到<math>x</math>的[[线段]]也位于<math>S</math>内。这个定义可以立刻推广到任何[[实数|实]]或[[複數 (數學)|複]][[向量空间]]。

直观地，如果我们把<math>S</math>视为用围墙包围的一个区域，那么<math>S</math>是一个星形域，意思是我们可以在<math>S</math>中找到一个着眼点<math>x_0</math>，使得<math>S</math>中的任何点<math>x</math>都在该点的视线内。

==例子==
* '''R'''<sup>''n''</sup>中的任何直线或平面都是星形域。
* 一条直线或一个平面去掉一个点就不是星形域。
* 如果''A''是'''R'''<sup>''n''</sup>中的一个集合，那么把''A''的任何点与原点相连而得到的集合 
:: <math>B= \{ ta : a\in A, t\in[0,1] \}</math> 
:是一个星形域。

==性质==

* 任何[[非空]][[凸集]]都是星形域。一个集合是凸集，当且仅当它关于该集合中的任何点都是星形域。
* [[十字]]形状是星形域，但不是凸集。
* 一个星形域的[[闭包 (拓扑学)|闭包]]也是星形域，但一个星形域的[[内部]]不一定是星形域。 
* 任何星形域都是[[可缩空间|可缩]]集合，即與[[單元集|單點空間]][[同倫等價]]，因為有一个直线[[同伦]]。特别地，任何星形域都是[[单连通|單連通集合]]。
* 两个星形域的并集和交集不一定是星形域。
* '''R'''<sup>''n''</sup>中的非空开星形域''S''与'''R'''<sup>''n''</sup>[[微分同胚]]。

==参见==
* [[美术馆问题]]
* [[星形多边形]]
* [[平衡集]]

==参考文献==

* Ian Stewart, David Tall, ''Complex Analysis''. Cambridge University Press, 1983. ISBN 0-521-28763-4.

* C.R. Smith, ''A characterization of Star-shaped sets'', [[American Mathematical Monthly]], Vol. 75, No. 4 (April 1968). pp. 386.

==外部链接==
{{commonscat|Star-shaped sets}}
* {{mathworld|urlname=StarConvex|title=Star convex}}
{{泛函分析}}
[[Category:欧几里得几何]]