查看“︁时不变系统”︁的源代码

{{noteTA
|G1=Signals and Systems
}}
'''非時變系統'''是输出不會直接隨著时间变化的系统。

:如果输入信号<math>x(t)</math>产生输出<math>y(t)</math>，那么对于任意时间延遲的输入<math>x(t + \delta)</math>将得到相同时间延遲的输出<math>y(t + \delta)</math>。

如果系统的[[传递函数]]不是时间的函数，就可以满足这个特性。这个特性也可以用示意图的术语进行描述

:如果一个系统是时不变的，那么系统框图与任意延时时刻的框图都是可以互换的。

==简单例子==

为了表明如何确定系统是时不变系统，以下來看两个系统：
* 系统A：<math>y(t) = t\, x(t)</math>
* 系统B：<math>y(t) = 10\cdot x(t)</math>

由于系统A除了<math>x(t)</math>与<math>y(t)</math>之外还显式地依赖于''t''所以它是[[时变系统]]，而系统B没有显式地依赖于时间''t''所以它是时不变的。

==正式例子==

下面将给出系统A和B更加正式的证明。为了完成这个证明，我们需要使用第二个定义。

系统A：
:使用延时的信号作为输入<math>x_d(t) = \,\!x(t + \delta)</math>
::<math>y(t) = t\, x_d(t)</math>
::<math>y_1(t) = t\, x_d(t) = t\, x(t + \delta)</math>
:那么输出延时<math>\delta</math>
::<math>y(t) = t\, x_d(t)</math>
::<math>y_2(t) = \,\!y(t + \delta) = (t + \delta) x(t + \delta)</math>
:很显然<math>y_1(t) \,\!\ne y_2(t)</math>，所以系统是时变系统（time-varying）。

系统B:
:以延时的信号作为输入<math>x_d(t) = \,\!x(t + \delta)</math>
::<math>y(t) = 10 \, x_d(t)</math>
::<math>y_1(t) = 10 \,x_d(t) = 10 \,x(t + \delta)</math>
:现在输出延时<math>\,\!\delta</math>
::<math>y(t) = 10 \,x_d(t)</math>
::<math>y_2(t) = y(t + \delta) = 10 \,x(t + \delta)</math>
:显然<math>y_1(t) = \,\!y_2(t)</math>，所以系统是非時變（time-invariant）的。尽管有其它方法可以证明这一点，但这是最容易的方法。

==抽象例子==

我们用<math>\mathbb{T}_r</math>表示'''[[移位算子]]'''，其中<math>r</math>是矢量[[变址组]]需要移位的数值，例如“前进1步”的系统

:<math>x(t+1) = \,\!\delta(t+1) * x(t)</math>

可以用这个抽象表示

:<math>\tilde{x}_1 = \mathbb{T}_1 \, \tilde{x}</math>

其中<math>\tilde{x}</math>是

:<math>\tilde{x} = x(t) \, \forall \, t \in \mathbb{R}</math>

以及产生系统移位输出

:<math>\tilde{x}_1 = x(t + 1) \, \forall \, t \in \mathbb{R}</math>

所定义的函数，这样<math>\mathbb{T}_1</math>就是输入矢量增加1的算子。

假设我们用[[算子]]<math>\mathbb{H}</math>表示一个系统，如果系统与移位算子是可交换的，那么它就是'''时不变'''的，例如

:<math>\mathbb{T}_r \, \mathbb{H} = \mathbb{H} \, \mathbb{T}_r  \,\, \forall \, r</math>

如果系统方程是

:<math>\tilde{y} = \mathbb{H} \, \tilde{x}</math>

并且如果我们可以将系统算子<math>\mathbb{H}</math>首先对<math>\tilde{x}</math>进行运算，然后再用移位算子<math>\mathbb{T}_r</math>进行运算，或者首先用移位算子<math>\mathbb{T}_r</math>，然后再用系统算子<math>\mathbb{H}</math>进行运算，并且这两种方法的结果等价，那么系统就是时不变的。

首先用系统算子进行运算将得到

:<math>\mathbb{T}_r \, \mathbb{H} \, \tilde{x} = \mathbb{T}_r \, \tilde{y} = \tilde{y}_r</math>

首先用移位算子将得到

:<math>\mathbb{H} \, \mathbb{T}_r \, \tilde{x} = \mathbb{H} \, \tilde{x}_r</math>

如果系统是时不变的，那么

:<math>\mathbb{H} \, \tilde{x}_r = \tilde{y}_r</math>

==参见==
*[[有限脉冲响应]]
*[[线性时不变系统理论]]
*{{le|Sheffer sequence|Sheffer sequence}}
*[[状态空间]]
*[[系统分析]]
*[[時變系統]]
*[[平移不變系統]]

[[Category:控制理论]]
[[Category:信号处理]]