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{{Unreferenced|time=2014-05-14T06:59:00+00:00}}
[[File:Hours of daylight vs latitude vs day of year cmglee.svg|thumb|400px|一個利用日出方程式，以[[北緯]]40度（大約是紐約、北京的位置）作為基準之全年日照圖表。]]

'''日出方程式'''和隨後的那些分程式，可以計算出[[太陽]]在不同的[[赤緯]]時，[[地球]]各地不同[[緯度]]的[[日出]]和[[日落]]時間之精確[[地方時]]：

:<math>\cos \omega_o = -\operatorname{tan}(\phi) \times \operatorname{tan}( \delta) </math>

此處：<br />
:<math>\,\!\omega_o</math>是日出（當數值為負數時）或日落（當數值為正值時）時，以度為單位的[[時角]]；
:<math>\,\!\phi</math>是在地球上觀測者的緯度；
:<math>\,\!\delta</math> 是太陽的赤緯。

== 方程式的理論 ==
地球[[自轉]]的[[角速度]]是 15°/小時，因此<math>\,\! \omega_o/15^o</math>給了日出時間與當地正午之前相隔的[[小時]]數，或是日落時間與當地正午之後相隔的小時數。「當地正午」這個專有名詞（術語）在這裡的含意是太陽精確的位於正[[南]]方、正[[北]]方或正頭頂上位置的時刻。

在國際的協定上，當在[[赤道]]時<math>\,\!\phi</math>的值是0，在[[北半球]]是正值，在[[南半球]]是負值。當春分或秋分，太陽正好在赤道上空時，<math>\,\!\delta</math>是0，在北半球的[[夏天]]是正值，而在北半球的[[冬天]]是負值。

需要注意的是，上面的方程式只適用於有日出和日落的地區，也就是在北半球的夏天時，<math>\,\!-90^o+\delta < \phi < 90^o-\delta</math>；和在北半球的冬天，<math>\,\!-90^ o-\delta < \phi < 90^ o+\delta</math>的地區，在這個緯度範圍之外的地區，不是24小時[[日|白天]]的[[永晝]]，就是24小時[[晚上|夜晚]]的[[永夜]]。 

== 方程式的改進 ==

同時要注意的還有，上面的方程式忽略了[[大氣折射]]的影響（當太陽在地平面時會被抬升約0.6°），和太陽盤面的大小（大約0.5°）。在天文曆書上，通常使用下面的方程式來修正這兩項因素影響，重新設置日出和日落的時刻：

:<math>\cos(\omega_o) = \dfrac{\sin(a) - \sin(\phi) \times \sin(\delta)}{\cos(\phi) \times \cos(\delta)}</math>

太陽盤面中心點的[[高度]] (a)大約在地平面下-0.85° （或-51弧分）。

== 在地球上完整的計算 ==

一般化的方程式在本身需要的計算之前，先要計算許多其它的變數。這些方程式中有全部的太陽-地球常數，都以角度形式的常數被置入。

=== 計算現在的儒略週期 ===
 
:<math>n^{\star} = J_{date} - 2451545 - 0.0009 - \dfrac{l_w}{360}</math>

:<math>n = round(n^{\star})\dfrac{}{}</math>

此處：
:J<sub>date</sub>是[[儒略日|儒略日期]]；
:l<sub>w</sub>是觀測者在地球上的西經度數（西經是負值、東經是正值）；
:n是以2000年1月1日為基準(0)的儒略世紀數。

=== 大約的太陽正午 ===

:<math>J^{\star} = 2451545 + 0.0009 + \dfrac{l_w}{360} + n</math>

此處：

:<math>J^{\star}</math>是在地面經度l<sub>w</sub>的太陽正午大約時刻。

=== 太陽的平近點角 ===
 
:<math>M = [357.5291 + 0.98560028 \times (J^{\star} - 2451545)]  \mod 360</math>

此處：

:M是太陽的[[平近點角]]。

=== 中心差 ===

:<math>C = 1.9148 \times \sin(M) + 0.0200 \times \sin(2  M) + 0.0003 \times \sin(3  M) \dfrac{}{}</math>

此處：

:C是[[中心差]]。

=== 黃經 ===

:<math>\lambda = (M + 102.9372 + C + 180) \mod 360</math>

此處：

:λ是[[黃經]]。

=== 過中天 ===

:<math>J_{transit} = J^{\star} + (0.0053 \times \sin(M)) - (0.0069 \times \sin(2 \lambda))</math>

此處：

:J<sub>transit</sub>是太陽過中天（[[中午|太陽正午]]）的恆星時。

=== 太陽的赤緯 ===

:<math>\delta = \sin^{-1}( \sin(\lambda) \times \sin(23.45) ) \dfrac{}{}</math>

此處：

:δ是太陽的赤緯。

=== 時角 ===
''這時來自上面修正太陽盤面的方程式。''

:<math>\omega_o = \cos^{-1}\left(\dfrac{\sin(-0.83) - \sin(\phi) \times \sin(\delta)}{\cos(\phi) \times \cos(\delta)} \right)</math>

此處：

:ω<sub>o</sub>是時角；
:<math>\phi</math>是觀測者在地球上的緯度（北緯是正值、南緯是負值）。

這是修正太陽盤面的主要方程式

=== 日出和日落的計算 ===
 
:<math>J_{set} = 2451545 + 0.0009 + \left( \dfrac{\omega_o +l_w}{360} + n + 0.0053 \, \sin M \right) - 0.0069 \, \sin 2  \lambda</math>

:<math>J_{rise} = J_{transit} - (J_{set} - J_{transit}) \dfrac{}{}</math>

此處：

:J<sub>set</sub>是日落的正確儒略日；
:J<sub>rise</sub>是日出的正確儒略日。

== 相關條目 ==
*[[日出]]
*[[日落]]
*[[日長]]

== 外部連結 ==
*[http://www.spectralcalc.com/solar_calculator/solar_position.php Sunrise, sunset, or sun position for any location] {{Wayback|url=http://www.spectralcalc.com/solar_calculator/solar_position.php |date=20210124235959 }}
*[http://4rdp.blogspot.com/2011/08/sunrise-equation.html 日出方程式-基本式推導] {{Wayback|url=http://4rdp.blogspot.com/2011/08/sunrise-equation.html |date=20200324093512 }}

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