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'''无限集合'''是由[[无限]]个[[元素 (數學)|元素]]组成的[[集合 (数学)|集合]]，也称'''无穷集合'''或'''无限集'''。無限集合一般常見的例子有[[自然数|自然数集]]、[[整数|整數集]]、[[有理数|有理数集]]等。無限集合分為[[可數集]]和[[不可數集]]。<ref>{{Cite web|title=The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Infinite|url=https://mathvault.ca/math-glossary/#infinite|accessdate=|author=|date=2019-08-01|last=|first=|format=|publisher=|language=en-US|website=Math Vault|archive-url=https://web.archive.org/web/20200228211953/https://mathvault.ca/math-glossary/#infinite|archive-date=2020-02-28|access-date=2019-11-29|dead-url=no}}</ref><ref>{{Cite mathworld|urlname=InfiniteSet|title=Infinite Set|language=en|access-date=2019-11-29|archive-date=2020-11-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20201127014503/https://mathworld.wolfram.com/InfiniteSet.html|dead-url=no}}</ref><ref name=":0">{{Cite web|url=https://ncatlab.org/nlab/show/infinite+set|title=infinite set in nLab|website=ncatlab.org|access-date=2019-11-29|archive-date=2020-10-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20201001082617/https://ncatlab.org/nlab/show/infinite+set|dead-url=no}}</ref>

'''自然数集'''是[[公理]]'''直接要求'''是无限集合的'''唯一'''集合。 

== 历史 ==

[[集合论|集合論]]中，集合主要分為[[有限集合]]與無限集合。有限集合很多的性質是顯而易見的，而無限集合的非有限性，使得其一些基本性質也變得並不顯而易見。個別的[[數學家]]甚至質疑諸如[[选择公理]]等基本公設使用在無限集合身上是否仍然正確。[[罗素悖论]]提出以後，一些激進的數學哲學家提倡'''禁止'''在數學中使用無限集合以挽救[[第三次數學危機]]。

== 示例 ==

=== 无穷可数集合 ===
[[整数|整数集]]<math>\mathbb{Z}= \{ \ldots,-1,0,1,2,\ldots \}</math>是一个可数的无穷集合。整数的某些子集也是可数的无限集合，如：偶数集、奇数集等。

=== 无穷不可数集合 ===
实数集<math>\mathbb{R}</math>、无理数集等都是无穷不可数集合。

== 特性 ==

在无限集合中，集合大小的比较不是显然的。

*在[[基数 (数学)|基数]]意义下，一个集合的真子集可以等于自身，例如：
:[[偶數]]和[[整數]]哪個多？
::整數：<math>\ldots,-1,0,1,2,3,4,5,\ldots,n</math>
::偶數：<math>\ldots,-2,0,2,4,6,8,10,\ldots,2n</math> 
::通過建立[[一一对应|一一對應]]的關係，可以證明偶數和整數在基数意义下一樣多，雖然這有悖於一般認識。
* 在[[自然密度|密度]]意义下，同样的例子里，偶数集的大小是自然集的一半：
: 对于<math>N\to \infty</math>，小于<math>N</math>的偶数数目 与 小于<math>N</math>的整数数目 的比值趋近于<math>0.5</math>。
[[Category:无穷集合论基本概念]]
[[Category:基数|U]]

== 参考文献 ==
<references />{{集合论}}