查看“︁无穷递降法”︁的源代码

{{unreferenced|time=2013-05-14T16:29:02+00:00}}
'''无穷递降法'''，又名'''無窮遞減法'''（{{lang-en|Proof by infinite descent}}），是[[数学]]中证明[[方程]]无解的一种方法。

== 步骤 ==
* 假设方程有解，并设X为最小的解。
* 从X推出一个更小的解Y。
* 从而与X的最小性相矛盾。所以，方程无解。

==一些實用的例子==
===a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>=3(s<sup>2</sup>+t<sup>2</sup>)無非平方解===
证明下列方程无正整数解:

:<math>a^2+b^2=3 \cdot (s^2+t^2),\,</math>

证明:

假设该方程有正整数解。 

设<math>a_1, b_1, s_1, t_1</math>为最小的解。即

:<math> a_1^2+b_1^2 = 3 \cdot (s_1^2+t_1^2) </math> 

显然，<math>a_1</math>和<math>b_1</math>都必须能被3整除。设 

:<math>3 a_2 = a_1\, </math>及<math> 3 b_2 = b_1.\,</math>

我们得到 

:<math> (3 a_2)^2 + (3 b_2)^2 = 3 \cdot (s_1^2+t_1^2)</math> 
 
:<math> 3(a_2^2+b_2^2) = s_1^2+t_1^2.\, </math>

这是更小的解，与<math>a_1, b_1, s_1, t_1</math>的最小性相矛盾。所以，原方程无正整数解。

===<math>\sqrt{2}</math>的無理性===
{{main|2的算术平方根}}
假設<math>\sqrt{2}</math>是[[有理數]]，即<math>p^2=2q^2</math>有[[正整數]]解。<br>
令<math>(p,q)</math>是此方程的最小解<br>
易知<math>p</math>是偶數，從得<math>q</math>是偶數<br>
⇒<math>(p/2,q/2)<(p,q)</math>  <br>
和'''<math>(p,q)</math>是此方程的最小解'''矛盾，故無正整數解 <br>
⇒從得<math>\sqrt{2}</math>是[[無理數]] <br>

==參見==
*[[韦达跳跃]]
*[[反證法]]

[[Category:數學推理]]
[[Category:数学术语]]
[[Category:丟番圖方程]]