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[[数学]]裡，'''无穷小变换'''是小[[变换]]的一个无穷小[[极限]]。例如我们可以谈论三维空间中一个[[刚体]]的[[无穷小旋转]]。这通常由一个 3×3 [[反对称矩阵]] ''A'' 表示。它不是空间中的实际[[旋转]]；但是对一个小参数 ε，我们有

:<math>I+\varepsilon A</math>

与小旋转之差只是 ε<sup>2</sup> 阶量。

无穷小变换的综合理论最早由[[索甫斯·李]]给出。事实上这是他在如今称为[[李群]]及其[[李代数]]方面工作的核心；以及它们在[[几何]]特别是[[微分方程]]中作用的等同。一个抽象[[李群]]的性质正是无穷小变换的那些限定，正如[[群论]]的公理实现了对称。

例如，在无穷小旋转情形，将一个反对称矩阵与一个三维[[向量]]等同，则李代数结构由[[叉积]]给出。这相当于选取旋转的一个轴；[[雅可比恒等式]]是叉积一个熟知的性质。

无穷小变换最早的例子可能认为出现于[[齐次函数|齐次函数的欧拉定理]]中。它断言 ''n'' 个变量 ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub> 的一个度数为 ''r'' 的齐次函数 ''F''，满足

:<math>H\cdot F=rF</math>

其中

:<math>H=\sum_i x_i{\partial\over\partial x_i}</math>

是一个[[微分算子]]。这是由性质

:<math>F(\lambda x_1,\dots, \lambda x_n)=\lambda^r F(x_1,\dots,x_n)</math>

我们可对 λ 微分，然后取 λ 等于 1。这是光滑函数 ''F'' 有齐次性质的一个[[必要条件]]；这也是充足的（通过利用[[施瓦兹分布]]我们简化这里考虑的[[数学分析]]）。在我们有一个[[缩放]]算子的[[单参数子群]]时这个过程是典型的；变换的信息事实上包含于[[一阶微分算子]]无穷小变换中。

算子方程

:<math>e^{tD}f(x)=f(x+t)</math>

这里

:<math>D={d\over dx}</math>

是[[泰勒定理]]的一个[[算子]]版本，从而只对 ''f'' 是一个[[解析函数]]成立。集中于算子部分，它实际上说明 ''D'' 是一个无穷小变换，通过[[指数函数|指数]]生成在实直线上的平移。在李理论中，这推广得很远。任何[[连通|连通空间]]李群可由它的[[李群#与李群相伴的李代数|无穷小生成元]]（这个群李代数的一个基）构造出来；[[贝克-坎贝尔-豪斯多夫公式]]中给出了清晰不过未必总有用的信息。

[[Category:李群]]