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在[[公理化集合论]]和使用它的[[逻辑]]、[[数学]]和[[计算机科学]]中，'''无穷公理'''（{{lang-en|Axiom of infinity}}）是[[策梅洛-弗兰克尔集合论]]的[[公理]]之一。<ref>Zermelo: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, 1907, in: Mathematische Annalen 65 (1908), 261-281; Axiom des Unendlichen p. 266f.</ref>

== 形式陈述 ==
在Zermelo-Fraenkel公理的[[形式语言]]中，这个公理读作：
:<math>\exists \mathbf{N}: \varnothing \in \mathbf{N} \land (\forall x: x \in \mathbf{N} \implies x \cup \{x\} \in \mathbf{N})</math>

或用非形式化的語言陳述：[[存在量化|存在]]一个[[集合 (数学)|集合]]<math>\mathbb{N}</math>，使得[[空集]]在<math>\mathbb{N}</math>中，并且只要<math>x</math>是<math>\mathbb{N}</math>的成员，则<math>x</math>与它的[[单元素集合]]<math>\{x\}</math>此兩者的[[并集]]也是<math>\mathbb{N}</math>的成员。这种集合有时也叫做归纳集合。归纳集合是带有如下性质的[[集合 (数学)|集合]]<math>X</math>：对于所有<math>x\in X</math>，<math>x</math>的后继<math>x'</math>也是<math>X</math>的一个[[元素 (數學)|元素]]。

== 解释 ==
要理解这个公理，首先我们要定义<math>x</math>的后继为<math>x\cup \{x\}</math>。注意[[配对公理]]允许我们形成单元素集合<math>\{x\}</math>。
后继是用来定义[[自然数]]的常用的集合论编码。在这种编码中，[[0]]是空集（<math>0=\varnothing</math>），而[[1]]是0的后继：

:<math>1=0\cup\{0\}=\varnothing\cup\{0\}=\{0\}</math>

类似地，2 是1 的后继：
:<math>2=1\cup\{1\}=\{0\}\cup\{1\}=\{0,1\}</math>

如此类推。这个定义的推论是對於任何自然數<math>n</math>，<math>n</math>等同于由它的所有前驱（{{lang|en|predecessor}}）組成的集合。

我们希望可以形成包含所有自然数的一個集合，但是只使用其他ZF公理的話並不能做到這一點。因此，有必要加入无穷公理以假定这个集合的存在。它是通过类似于[[数学归纳法]]的方法完成的：首先假定有一个集合<math>S</math>包含零，并接着規定对于<math>S</math>的所有元素，这个元素的后继也在<math>S</math>中。

这个集合<math>S</math>可以不只是包含自然数，還包含別的元素。但是我们可以应用[[分类公理]]模式来除去不想要的元素，留下所有自然数的集合<math>\mathbb{N}</math>。通过[[外延公理]]可知这个集合是唯一的。应用分类（分离）公理的结果是：

<math>\exists \mathbf{N} \forall n (n \in \mathbf{N} \iff ([\forall k \in n(\bot) \lor \exists k \in n( \forall j \in k(j \in n) \land \forall j \in n(j=k \lor j \in k))] \land</math><br />
<math>\forall m \in n[\forall k \in m(\bot) \lor \exists k \in n(k \in m \land \forall j \in k(j \in m) \land \forall j \in m(j=k \lor j \in k))]))</math>

用非形式化的語言陳述：所有自然数的集合存在；这里的自然数要么是零，要么是一个自然數k的后继，并且<math>k</math>的每个元素要么是0要么是''<math>k</math>''的另外一个元素的后继。

所以这个公理的本质是：
:有一个集合包含所有的自然数。
无穷公理也是[[冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论|von Neumann-Bernays-Gödel 公理]]之一。

== 引用 ==
{{reflist}}

==延伸阅读==
*[[Paul Halmos]] (1960) ''Naive set theory''. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company. Reprinted 1974 by Springer-Verlag. ISBN 0-387-90092-6.
*[[Thomas Jech]] (2003) ''Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded''. Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.
*[[Kenneth Kunen]] (1980) ''Set Theory: An Introduction to Independence Proofs''. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.

[[Category:集合论公理]]
{{集合论}}