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{{expert|time=2014-03-29T10:05:11+00:00}}

在[[数学]]中, 特别是[[泛函分析]]与[[算符理论]], '''无界算子'''的概念提供了用于处理[[微分算符]], 量子力学中无界可观测量等的一个抽象框架.

无界算子的名称具有一定的误导性，这是因为
* “无界”有时可以被理解为 "无需有界"，或者說 "不一定有界"；
* “算符”当被理解为“[[线性算符]]”（这和“有界算子”是相同的）；
* 算符的定义域为线性子空间, 不必为全空间；
* 线性子空间不必有界； 一般被假定为[[稠密]]；
* 特殊情况下的有界算子，定义域被假定为全空间

不同于[[有界算子]], 给定空间上的无界算子不构成代数，甚至不构成线性空间，这是因为每一个无界算子有各自的定义域。

“[[算子]]”通常指“有界线性算子”，但在以下内容中默认指“无界算子”。给定空间默认为[[希尔伯特空间]]，但可以扩展到[[巴拿赫空间]]与更有普遍性的[[拓扑矢量空间]]。

==历史简述==

无界算子理论诞生于20世纪20年代晚期以及30年代早期，作为[[希尔伯特空间#量子力学|量子力学]]严格数学框架的一部分而得到发展.<ref>{{harvnb|Reed|Simon|1980|loc=Notes to Chapter VIII, page 305}}</ref> [[约翰·冯·诺伊曼|約翰·馮·諾伊曼]]<ref>{{citation|last=von Neumann |first =J. |year=1930|title=Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Functionaloperatoren (General Eigenvalue Theory of Hermitian Functional Operators) |journal=Mathematische Annalen |volume=102 |issue=1 |pages=49–131|doi=10.1007/BF01782338}}</ref>以及{{Internal link helper/en|Marshall Stone|Marshall Harvey Stone}}<ref name="Stone1932">{{cite book|last=Stone|first=Marshall Harvey|title=Linear Transformations in Hilbert Space and Their Applications to Analysis. Reprint of the 1932 Ed|url=http://books.google.com/books?id=9n2CtOe9FLIC|year=1932|publisher=American Mathematical Society|isbn=978-0-8218-7452-3|access-date=2014-03-29|archive-date=2014-06-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20140629070615/http://books.google.com/books?id=9n2CtOe9FLIC|dead-url=no}}</ref>爲理論發展的主要貢獻者。[[约翰·冯·诺伊曼|馮·諾伊曼]]在1936年利用[[函数图形|图]]对无界算符进行分析.<ref>{{citation |last=von Neumann |first=J. |year=1936 |title=Über Adjungierte Funktionaloperatore (On Adjoint Functional Operators) |journal=Annals of Mathematics |series=Second Series |volume=33 |pages=294–310 |doi=10.2307/1968331 |issue=2 |jstor=1968331}}</ref>

== 定义与基本性质 ==

令 ''B''<sub>1</sub> 与 ''B''<sub>2</sub> 为 [[巴拿赫空间]].  '''无界算子''' (或简称为''算子'') {{nowrap|''T'' : ''B''<sub>1</sub> → ''B''<sub>2</sub>}}是一个[[线性映射]] ''T''， 从''B''<sub>1</sub> 的线性子空间''D''(''T'') （''T''的定义域）映射到空间 ''B''<sub>2</sub>.<ref name="Pedersen-5.1.1">{{harvnb|Pedersen|1989|loc=5.1.1}}</ref> 不同于惯例, ''T'' 可能不定义在整个空间''B''<sub>1</sub>.

如果函数图 Γ(''T'') 为一个[[闭集]]，算子''T''被称为'''闭算子'''.<ref name="Pedersen-5.1.4">{{ harvnb |Pedersen|1989| loc=5.1.4 }}</ref> （这里，图 Γ(''T'') 是直和{{nowrap|''B''<sub>1</sub> ⊕ ''B''<sub>2</sub>}}的一个线性子空间，定义为所以对{{nowrap|(''x'', ''Tx'')}}的集合, ''x''定义在''T''上）. 这意味着，对所有来自域''T''的点列(''x<sub>n</sub>'')，''x<sub>n</sub>''收敛到''x''， ''Tx<sub>n</sub>'' 收敛到''y'', ''x''在域''T''上成立，且 {{nowrap|''Tx'' {{=}} ''y''}}.<ref name="Pedersen-5.1.4"/> 有界性可以通过''图模''描述: 算符 ''T'' 是有界的， 当且仅当它的定义域 ''D''(''T'') 是关于下面的模的[[完备空间]]:<ref name="BSU-5">{{ harvnb |Berezansky|Sheftel|Us|1996| loc=page 5 }}</ref>
: <math> 
    \|x\|_T = \sqrt{ \|x\|^2 + \|Tx\|^2 }\ . 
  </math>

如果在''B''<sub>1</sub>上定义域稠密，算子 ''T''被'''稠密定义'''。这同样包括定义在整个 ''B''<sub>1</sub> 上的算子, 因为整个空间本身稠密。 定义域的稠密是转置与伴随函数存在的充分必要条件。

若{{nowrap|''T'' : ''B''<sub>1</sub> → ''B''<sub>2</sub>}}为闭集, 在它的定义域上稠密且连续, 则它定义在''B''<sub>1</sub>上.<ref>Suppose ''f<sub>j</sub>'' is a sequence in the domain of ''T'' that converges to {{nowrap|''g'' ∈ ''B''<sub>1</sub>}}. Since ''T'' is uniformly continuous on its domain, ''Tf<sub>j</sub>'' is [[Cauchy sequence|Cauchy]] in ''B''<sub>2</sub>. Thus, {{nowrap|(''f<sub>j</sub>'', ''Tf<sub>j</sub>'')}} is Cauchy and so converges to some {{nowrap|(''f'', ''Tf'')}} since the graph of ''T'' is closed. Hence, {{nowrap|''f'' {{=}} ''g''}}, and the domain of ''T'' is closed.</ref>

如果 {{nowrap|''T'' + ''a''}} 是实数 ''a''的正算符，[[希尔伯特空间]] ''H'' 上稠密定义的算符 ''T''被称作'''下有界'''. 即,对所有''T''域上的''x''来说，{{nowrap|⟨''Tx''{{!}}''x''⟩ ≥ −''a''·{{!!}}''x''{{!!}}<sup>2</sup>}} .<ref name="Pedersen-5.1.12" /> 如果 ''T'' 与 (–''T'') 都是下有界的，''T''有界.<ref name="Pedersen-5.1.12" />

==参考资料==
*{{ citation | last1=Berezansky| first1=Y.M. | last2=Sheftel| first2=Z.G. | last3=Us| first3=G.F.| title=Functional analysis | volume=II | year=1996| publisher=Birkhäuser }} (see Chapter 12 "General theory of unbounded operators in Hilbert spaces").
*{{ citation | last1=Brezis | first1=Haïm | title=Analyse fonctionnelle — Théorie et applications  | year=1983| publisher=Mason |place=Paris |language=fr}}
*{{springer|title=Unbounded operator|id=p/u095090}} <!--Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) -->
*{{ citation | last=Hall | first=B.C. | title=Quantum Theory for Mathematicians | year=2013 | series=Graduate Texts in Mathematics |chapter=Chapter 9. Unbounded Self-adjoint Operators  |publisher=Springer}}
*{{ citation | last=Kato | first=Tosio | title=Perturbation theory for linear operators | year=1995 | series=Classics in Mathematics |chapter=Chapter 5. Operators in Hilbert Space  |publisher=Springer-Verlag |isbn=3-540-58661-X}}
*{{ citation | last=Pedersen | first=Gert K. | title=Analysis now | year=1989 | publisher=Springer }} (see Chapter 5 "Unbounded operators").
*{{ citation | last1=Reed | first1=Michael | author1-link=Michael C. Reed | last2=Simon | first2=Barry | author2-link=Barry Simon | title=Methods of Modern Mathematical Physics | edition=revised and enlarged | volume=1: Functional Analysis | year=1980 | publisher=Academic Press }} (see Chapter 8 "Unbounded operators").
*{{ citation | last1=Yoshida| first1=Kôsaku | title=Functional Analysis | year=1980| publisher=Springer |edition=sixth}}

{{PlanetMath attribution|id=4526|title=Closed operator}}

{{泛函分析}}
{{DEFAULTSORT:Unbounded Operator}}
[[Category:线性算子]]
[[Category:算子理论]]