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'''无字证明'''（{{lang-en|proof without words}}）是指仅用图像而无需文字解释就能不证自明的数学命题。由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理。<ref name="dunham120">{{Harvnb|Dunham|1994|p=120}}</ref>无字证明通常只是用图像来说明一个证明中的特例，因而需要推广才能构成完整的证明。<ref>{{cite mathworld|title=Proof without Words|urlname=ProofwithoutWords}} Retrieved on 2008-[[June 20|6-20]]</ref>
[[File:Proofwithoutwords.svg|thumb|right|180px|奇数之和定理的无字证明]]
[[File:Chinese pythagoras.jpg|thumb|right|180px|《[[周髀算经]]》中勾股定理的无字证明]]
[[Image:Jensen graph.png|thumb|right|180px|延森不等式的无字证明]]

== 示例 ==
=== 奇数之和 ===
从1至2''n''-1之间的所有[[奇数]]之和为[[平方数]]''n''<sup>2</sup>的无字证明如右图所示。<ref name="dunham121">{{Harvnb|Dunham|1994|p=121}}</ref>第一个正方形由一个方块组成，即1为首个平方数。之后增加3个白色方块以组成第二个正方形，总共有4个方块，即4为第二个平方数。之后再增加5个黑色方块组成下一个平方数9，并以此类推。

=== 勾股定理 ===
[[勾股定理]]可以由右边第二张图（出自《[[周髀算经]]》）进行证明。通过两种不同的方法计算大的正方形的面积可以得到

: <math>a^2 + b^2 = c^2\, </math>

虽然没有上一个例子那么明显，但也可以看作是无字证明。<ref>{{Harvnb|Nelsen|1997|p=3}}</ref>

=== 延森不等式 ===
[[延森不等式]]可由右边第三张图加以证明。沿''X''轴的点曲线为''X''的假想分布，沿''Y''轴的点曲线则为相应的''Y''的分布。可以看到随着''X''值的增大，凸映射''Y''(''X'')使得分布不断地“延长”。<ref>{{citation|title=Jensen's Inequality|periodical=Bulletin of the American Mathematical Society|volume=43|issue=8|year=1937|publisher=American Mathematical Society|page=527}}</ref>

==其他範例 ==
{{Gallery
| title  = 無字證明範例
| width  = 250px
| height =100
| lines  = 2
| align =center
|File:關於tan(半角)的無字證明.png|<center>證明<math>\tan \frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}</math>，其中<math>0<x<90^\circ</math></center>
|File:二元算幾不等式的無字證明-正方形法.png|<center>證明二元[[算幾不等式]]<math>\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}{}</math></center><ref name="周伯欣">{{cite journal |author=周伯欣 |title=二元算幾不等式的一個無字證明一一 附記一段學思歷程 |journal=數學傳播 |volume=40 |issue=2 |page=35-38頁 |url=https://www.math.sinica.edu.tw/media/pdf/d402/40204.pdf |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20240901071328/https://www.math.sinica.edu.tw/media/pdf/d402/40204.pdf |archivedate=2024-09-01 |language=zh-tw}}</ref>
|File:二元算幾不等式的無字證明-半圓法.png|<center>證明二元算幾不等式<math>\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}{}</math></center><ref name="周伯欣"/>
|File:三角形內角和180度.png |<center>證明在歐氏幾何中，任意三角形內角和為180°</center>
|File:Geometric series 14 triangle.png|<center>證明無窮等比級數<math>\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+ \cdots= \frac{1}{3}</math></center>
}}

== 参见 ==
* [[披萨定理]]
* [[可视化微积分]]（visual calculus）

== 注释 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
{{Commonscat|Proof without words}}
{{refbegin}}
*{{citation|last=Dunham|first=William|title=The Mathematical Universe|publisher=John Wiley and Sons|isbn=0-471-53656-3|year=1974}}
*{{citation |last=Nelsen |first=Roger B. |title=Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking |publisher = Mathematical Association of America |isbn = 978-0-88385-700-7 |year=1997 | pages=160}}
*{{citation|last=Nelsen|first=Roger B.|title=Proofs without Words II: More Exercises in Visual Thinking |publisher=Mathematical Association of America |isbn=0-88385-721-9 |year=2000 | pages = 142}}
{{refend}}

[[Category:证明]]