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==定义==
[[拓扑空间]](X,τ)，A⊆X，称A是'''无处稠密的'''（亦称'''稀疏的'''，或称A为'''无处稠密集'''、'''稀疏集'''），当且仅当A的[[闭包 (拓扑学)|闭包]]的[[内部]]是空集。
==例子==
例如，[[整数]]在[[实数轴]]'''R'''上就形成了一个无处稠密集。

注意运算的次序是很重要的。例如，[[有理数]]的集合，由于是'''R'''的子集，因此它的内部的闭包（注意不是“闭包的内部”）是空集，但不是无处稠密集；实际上，它在'''R'''上是[[稠密集|稠密]]的，正好相反。

无处稠密与周围的空间也有关：有可能把一个集合考虑为''X''的子空间时就是无处稠密的，但考虑为''Y''的子空间时，就不是无处稠密的。显然，一个集合在它本身中总是稠密的。

===开集和闭集===
一个无处稠密集不一定是闭集（例如，集合<math>\{1,1/2,1/3,\dots\}</math>在实数集上是无处稠密集），但一定是包含在一个无处稠密的闭集（即它的闭包）内。确实，一个集合是无处稠密集，当且仅当它的闭包是无处稠密集。

无处稠密的闭集的补集是一个稠密的开集，因此无处稠密集的补集是内部为稠密的集合。

===测度为正数的无处稠密集===
一个无处稠密集并不一定就是可忽略的。例如，如果''X''位于[[单位区间]][0,1]，不仅有可能有[[勒贝格测度]]为零的稠密集（例如有理数集），也有可能有测度为正数的无处稠密集。  

例如（一个[[康托尔集]]的变体），从[0,1]内移除所有形为''a''/2<sup>''n''</sup>的最简[[二进分数]]，以及旁边的区间[''a''/2<sup>''n''</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1/2<sup>2''n''+1</sup>, ''a''/2<sup>''n''</sup>&nbsp;+&nbsp;1/2<sup>2''n''+1</sup>]；由于对于每一个''n''，这最多移除了总和为1/2<sup>''n''+1</sup>的区间，留下的无处稠密集的测度就至少是1/2（实际上刚刚大于0.535……，因为重叠的原因），因此在某种意义上表示了[0,1]的大多数空间。

把这个方法进行推广，我们可以在单位区间内构造出任意测度小于1的无处稠密集。

==参见==
*[[贝尔空间]]
*[[史密斯-沃尔泰拉-康托尔集]]

==外部链接==
*[https://web.archive.org/web/20061110032757/http://www.btinternet.com/~se16/hgb/nowhere.htm 一些测度为正数的无处稠密集]

{{点集拓扑}}

[[Category:点集拓扑学]]

[[de:Dichte Teilmenge#Nirgends dichte Teilmenge]]
[[ru:Глоссарий общей топологии#Н]]