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数学中，'''旋量群''' Spin(''n'') 是[[特殊正交群]] SO(''n'') 的二重[[覆叠空间|覆叠]]，使得存在[[李群 (数学)|李群]]的[[短正合列]]：
:<math>1 \to \mathbb{Z}_2 \to \operatorname{Spin}(n) \to \operatorname{SO}(n) \to 1</math> 。

对 ''n'' &gt; 2， Spin(''n'') [[单连通]]，从而是 SO(''n'') 的[[万有覆叠空间]]。作为李群 Spin(''n'') 及其[[李代数]]和特殊正交群 SO(''n'') 有相同的维数 ''n''(''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1)/2。

Spin(''n'') 可以构造为[[克利福德代数]] ''C''&#x2113;(''n'') [[可逆元|可逆元群]]的一个子群。Spin(''n'') 由所有写成个偶数个单位向量的克利福德乘积的元素生成。对应到 SO(''n'') 中恰是沿着垂直于这偶数个向量的[[超平面]]的[[反射 (数学)|反射]]的复合。

==巧合同构==
当[[维数]]比较低时，[[典型群|典型李群]]之间存在同构，称为“巧合同构”。例如，低维旋量群和一定的典型李群同构，这是因为不同的低维[[单李代数]]的[[根系 (数学)|根系]]之间存在同构。特别的我们有：

:Spin(1) = [[正交群|O(1)]] = '''Z'''<sub>2</sub>
:Spin(2) = [[酉群|U(1)]] = [[特殊正交群|SO(2)]] = S<sup>1</sup>
:Spin(3) = [[辛群|Sp(1)]] = [[特殊酉群|SU(2)]] = HU(1) = S<sup>3</sup>
:Spin(4) = [[辛群|Sp(1)]] &times; [[辛群|Sp(1)]] 
:Spin(5) = [[辛群|Sp(2)]] = HU(2)
:Spin(6) = [[特殊酉群|SU(4)]]

对 ''n'' = 7，8 仍然有退化的同构，细节可参见 [[Spin(8)]]；对更高的维数，这样的同构完全消失。

==不定符号差==

对于{{tsl|en|Metric signature|不定符号差}}，旋量群 Spin(p,q) 通过克利福德代数用类似于标准旋量群的方式构造，由能写成偶数个模+1和偶数个模-1单位向量的克利福德乘积的元素生成。它是一个 SO<sub>0</sub>(''p'',''q'')（[[不定正交群]] SO(''p'',''q'') 含单位元连通分支）的连通二重覆叠。Spin(''p'',''q'') 的连通性不同作者有不同的约定，此文中取 ''p''+''q''>2 时连通。不定符号低维时，也有一些巧合同构：

:Spin(1,1) = [[一般线性群|GL(1,'''R''')]]

:Spin(2,1) = [[SL2(R)|SL(2,'''R''')]]

:Spin(3,1) = [[复特殊线性群|SL(2,'''C''')]]
:Spin(2,2) = [[SL2(R)|SL(2,'''R''')]] &times; [[SL2(R)|SL(2,'''R''')]]

:Spin(4,1) = [[辛群|Sp(1,1)]]
:Spin(3,2) = [[辛群|Sp(4,'''R''')]]

:Spin(5,1) = [[特殊线性群|SL(2,'''H''')]]
:Spin(4,2) = [[特殊酉群|SU(2,2)]]
:Spin(3,3) = [[特殊线性群|SL(4,'''R''')]]

注意有 Spin(''p'',''q'') = Spin(''q'',''p'')。

==拓扑==

[[连通空间|连通]]且[[单连通]]的李群由它们的李代数决定。所以，如果 ''G'' 是具有[[单李代数]]的连通李群，''G''&prime; 是 ''G'' 的万有覆叠，有[[包含]]：

:<math> \pi_1 (G) \subset Z(G'), </math>

这里 ''Z''(''G''&prime;) 是 ''G'' 的[[中心]]。这个包含映射和 ''G'' 的李代数  <math>\mathfrak{g}</math> 完全确定了 ''G'' （注意 <math>\mathfrak{g}</math> 和 <math>\pi_1 (G)</math> 不能完全确定 ''G''，例如 SL(2,'''R''') 和 PSL(2,'''R''') 有相同的李代数和[[基本群]] <math>\mathbb{Z}</math>，但却不同构）。

定符号 Spin(''n'') 对 ''n'' > 2 都是单连通的，所以它们是 SO(''n'') 的万有覆叠。不定符号时，Spin(''p'',''q'') 的[[极大紧子群]]是

:<math>(\mbox{Spin}(p) \times \mbox{Spin}(q))/ \{(1,1),(-1,-1)\}</math>。

这样我们就可计算出 Spin(''p'',''q'') 的基本群：

:<math>\pi_1(\mbox{Spin}(p,q)) = \begin{cases}
\{0\} & (p,q)=(1,1) \mbox{ or } (1,0) \\
\{0\} & p > 2, q = 0,1 \\
\mathbb{Z} & (p,q)=(2,0) \mbox{ or } (2,1) \\
\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} & (p,q) = (2,2) \\
\mathbb{Z} & p > 2, q=2 \\
\mathbb{Z}_2 & p >2, q >2 \\
\end{cases}</math>

对 <math>p, q>2</math>，这意味着[[映射]] <math>\pi_1(\mbox{Spin}(p,q)) \to \pi_1(SO(p,q))</math> 由
<math> 1 \in \mathbb{Z}_2</math> 映到 <math>(1,1) \in \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2</math> 给出；
对 ''p''=2，''q''>2，映射由 <math>1 \in \mathbb{Z} \to (1,1) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2</math> ；最后，对 ''p'' = ''q'' = 2， <math>(1,0) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}</math> 映到 <math>(1,1) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} </math> 而 <math>(0,1)</math> 映到 <math>(1,-1)</math> 。

== 相關條目 ==
* [[反射 (数学)|反射]]
* [[Pin 群]]
* [[旋量]]
* [[旋量丛]]
* [[任意子]]
* [[自旋結構]]
* [[克利福德代数]]
* [[定向纏結]]
* [[複自旋群]]

== 參考文獻 ==
* F.Reece Harvey, Spinors and Calibrations, Academic Press, Inc., 1990.
* Pertti Lounesto, Clifford Algebras and Spinors, LMSLNS 239, Cambridge University Press,1997.
* PlanetMath, [http://planetmath.org/encyclopedia/SpinGroup.html Spin Groups] {{Wayback|url=http://planetmath.org/encyclopedia/SpinGroup.html |date=20160307084342 }}.


[[Category:李群]]
[[Category:李群的拓扑]]
[[Category:旋量]]