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{{NoteTA|G1=Physics|G2=Math}}
{{expert-subject|time=2017-12-10 T00:52:40+00:00}}
[[File:Spinor on the circle.pdf|thumb|right|upright=1.5|旋量的示意圖：一原先指向[[莫比烏斯帶]]外側的向量，順著莫比烏斯帶上的環圈（代表「物理系統」）旋轉了360°，向量轉而指向內側，亦即發生正負號變號。]]

在[[數學]][[幾何學]]與[[物理]]中，'''旋量'''（spinor）是[[复数 (数学)|複]][[向量空間]]中的元素。旋量乃[[自旋群]]的表象，類似於[[歐幾里得空間]]中的[[向量]]以及更廣義的[[張量]]，當歐幾里得空間進行無限小旋轉時，旋量做相應的[[線性映射|線性轉換]]。當如此一系列這樣的小旋轉組合成一定量的旋轉時，這些旋量轉換的次序會造成不同的組合旋轉結果，與向量或張量的情形不同。當空間從0°開始，旋轉了完整的一圈（360°），旋量發生了正負號變號（見圖），這個特徵即是旋量最大的特點。在一給定維度下，需要旋量才能完整地描述[[旋轉]]，如此引入了額外數量的維度。

在[[閔考斯基空間]]的情形，也可以定義出相似的旋量，其中[[狹義相對論]]的[[勞侖茲轉換]]扮演旋轉的角色。旋量最先是由[[埃利·嘉當]]於1913年引入幾何學。<ref>{{Harvnb|Cartan|1913}}.</ref><ref name="cartan-1966-quote">Quote from Elie Cartan: ''The Theory of Spinors'', Hermann, Paris, 1966, first sentence of the Introduction section of the beginning of the book (before the page numbers start): "Spinors were first used under that name, by physicists, in the field of Quantum Mechanics. In their most general form, spinors were discovered in 1913 by the author of this work, in his investigations on the linear representations of simple groups*; they provide a linear representation of the group of rotations in a space with any number <math>n</math> of dimensions, each spinor having <math>2^\nu</math> components where <math>n = 2\nu+1</math>  or <math>2\nu</math>." The star (*) refers to Cartan 1913.</ref>在1920年代，物理學家發現若要描述[[電子]]及其他次原子粒子的[[內稟角動量]]或[[自旋]]，旋量為不可或缺的角色。[[旋量群]]為所有旋轉相關的旋量所構成的[[群]]，其二重[[覆疊]]了[[旋轉群]]，因為每個完整旋轉結果皆有兩種不同但等效的旋轉方式。

== 概論 ==
一種特定的'''旋量'''是[[旋轉群]]（[[李群|李群SO(n，'''R''')]]）的投影表示中的元素，或更廣義地說，是[[廣義特殊正交群|SO(p,q，'''R''')]]群的投影表示中的元素。

旋量常被描述成「[[向量]]的平方根」，因為向量表示會出現在兩個相同旋量表示的[[張量積]]。

旋量中最典型的是[[狄拉克旋量]]。

== 數學性質 ==
當前有兩種架構可建構出旋量。

一者是[[表示論]]架構。[[正交群]]的[[李代數]]中，有一些群表示無法以尋常的張量來建構，這些群表示稱之為{{le|旋量群表示|Spin representation}}，組成成分即旋量。在此觀點下，旋量屬於[[特殊正交群|旋轉群]]的[[覆疊空間|二重覆疊]]的[[群表示|表示]]{{nowrap|SO(''n'', '''R''')}}；更廣義的情形，其為{{le|度規記號|metric signature}}為{{nowrap|(''p'', ''q'')}}之空間中，[[廣義特殊正交群]]的二重覆疊{{nowrap|SO<sup>+</sup>(''p'', ''q'', '''R''')}}。這些二重覆疊為稱作[[旋量群]]{{nowrap|Spin(''n'')}}或{{nowrap|Spin(''p'', ''q'')}}的[[李群]]。

二者是幾何架構。人們可以直接建構旋量，並檢視相關李群操作下旋量的行為。此方法的優點是直觀，但對旋量的複雜性質則難以處理，例子包括{{le|菲爾茲恆等式|Fierz identity}}。

===克里福代數===

===自旋群===

===物理學中的名詞===

===表示論中的旋量===

== 歷史 ==
[[埃利·嘉當]]於1913年提出旋量的最廣義數學形式。<ref>{{Harvnb|Cartan|1913}}</ref>「旋量」一詞則是首先出現在[[保羅·埃倫費斯特]]的[[量子物理]]論文中。<ref>{{harvnb|Tomonaga|1998|p=129}}</ref>

1927年，[[沃爾夫岡·包立]]將旋量應用至[[數學物理]]，當時他引入了[[包立矩陣|自旋矩陣]]。<ref>{{Harvnb|Pauli|1927}}.</ref>隔年，[[保羅·狄拉克]]發現了相對論性的電子自旋理論，其中展示了旋量與[[勞侖茲群]]的關連。<ref>{{Harvnb|Dirac|1928}}.</ref>於1930年代，狄拉克、[[皮亞特·海恩 (數學家)|皮亞特·海恩]]以及[[玻爾研究所]]的其他研究者建立了{{le|Tangloids|Tangloids}}之類的玩具，作為旋量的教學以及旋量微積分的模型。

== 建構 ==
== 克萊布希－高登係數 ==
== 低維度總結 ==

== 相關條目 ==
* [[狄拉克旋量]]
* {{link-en|三維空間中的旋量|Spinors in three dimensions}}

== 參考文獻 ==
{{reflist}}

===書目===
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* {{citation|last1=Penrose|first1= Roger|author1-link=Roger Penrose|last2=Rindler|first2=W.|title=Spinors and Space–Time: Volume 2, Spinor and Twistor Methods in Space–Time Geometry|publisher= Cambridge University Press|year=1988|isbn=0-521-34786-6}}.
* {{citation|first=Sin-Itiro|last=Tomonaga|title=The story of spin|chapter=Lecture 7: The Quantity Which Is Neither Vector nor Tensor|page=129|isbn=0-226-80794-0|publisher=University of Chicago Press|year=1998}}

[[Category:旋量| ]]
[[Category:三维旋转]]
[[Category:量子力学]]
[[Category:量子场论]]