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'''[[旋转]]矩阵'''（{{lang-en|Rotation matrix}}）是在[[矩阵乘法|乘以]]一个[[向量]]的时候有改变向量的方向但不改变大小的效果并保持了手性的[[矩阵]]。旋转矩阵不包括[[点反演]]，点反演可以改变手性，也就是把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。所有旋转加上反演形成了[[正交矩阵]]的集合。旋转可分为主动旋转与被动旋转。主动旋转是指将向量逆时针围绕旋转轴所做出的旋转。被动旋转是对坐标轴本身进行的逆时针旋转，它相当于主动旋转的逆操作。

==性质==

设 <math>\mathbf{M}</math> 是任何维的一般旋转矩阵: <math>\mathbf{M}\in\mathbb{R}^{n \times n}</math>

* 两个向量的点积(內積)在它们都被一个旋转矩阵操作之后保持不变:

::<math>\mathbf{a}^\top\cdot\mathbf{b} = \mathbf{(Ma)}^\top\cdot\mathbf{M}\mathbf{b}</math>
::

* 从而得出旋转矩阵的[[逆矩阵]]是它的[[转置矩阵]]：

::<math>\mathbf{M}\,\mathbf{M}^{-1}=\mathbf{M}\,\mathbf{M}^\top=\mathcal{I}</math> &nbsp;&nbsp; 这里的 <math>\mathcal{I}</math> 是单位矩阵。

* 一个矩阵是旋转矩阵，当且仅当它是[[正交矩阵]]并且它的[[行列式]]是1。正交矩阵的行列式是 &plusmn;1；如果行列式是 −1，则它包含了一个[[反射 (数学)|反射]]而不是真旋转矩阵。

* 旋转矩阵是[[正交矩阵]]，如果它的列向量形成 <math>\mathbb{R}^{n}</math> 的一个[[正交基]]，就是说在任何两个列向量之间的标量积是零([[正交|正交性]])而每个列向量的大小是单位一([[单位向量]])。 

* 任何旋转矩阵可以表示为[[斜对称矩阵]] '''A'''的指数:

::<math>\mathbf{M}=\exp (\mathbf{A})=\sum_{k=0}^\infty \frac{\mathbf{A}^k}{k!}</math>

:这里的指数是以[[泰勒级数]]定义的而 <math>\mathbf{A}^k</math> 是以[[矩阵乘法]]定义的。矩阵'''A'''叫做旋转的“生成元”。旋转矩阵的[[李代数]]是它的生成元的代数，它就是斜对称矩阵的代数。生成元可以通过 M 的[[矩阵对数]]来找到。

==二维空间==
{{main|复数_(数学)#矩陣表達式}}
在二维空间中，旋转可以用一个单一的角 <math>\theta</math> 定义。作为约定，正角表示逆时针旋转。把[[笛卡尔坐标]]的[[列向量]]关于原点逆时针旋转 <math>\theta</math> 的矩阵是:
:<math>
  M(\theta) = \begin{bmatrix} 
    \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\
    \sin{\theta} & \cos{\theta} 
  \end{bmatrix}
  =\cos{\theta}\begin{bmatrix}
    1 & 0 \\
    0 & 1
  \end{bmatrix}
  +\sin{\theta}\begin{bmatrix}
    0 & -1 \\
    1 & 0 
  \end{bmatrix}
  = \exp\left(\theta\begin{bmatrix} 
    0 & -1 \\
    1 & 0 
  \end{bmatrix}\right)
</math>

==三维空间==

在三维空间中，旋转矩阵有一个等于单位1的实[[特征值]]。旋转矩阵指定关于对应的[[特征向量]]的旋转([[欧拉旋转定理]])。如果旋转角是 &theta;，则旋转矩阵的另外两个(复数)特征值是 exp(''i''&theta;) 和 exp(-''i''&theta;)。从而得出 3 维旋转的[[迹数]]等于 1 + 2 cos(&theta;)，这可用来快速的计算任何 3 维旋转的旋转角。

3 维旋转矩阵的生成元是三维斜对称矩阵。因为只需要三个实数来指定 3 维斜对称矩阵，得出只用三个实数就可以指定一个 3 维旋转矩阵。
===旋转===
{{main|Tait-Bryan角}}
生成旋转矩阵的一种简单方式是把它作为三个基本旋转的序列复合。关于右手笛卡尔坐标系的 ''x''-, ''y''- 和 ''z''-轴的旋转分别叫做 ''roll'', ''pitch'' 和 ''yaw'' 旋转。因为这些旋转被表达为关于一个轴的旋转，它们的生成元很容易表达。

* 绕 ''x''-轴的主动旋转定义为:

:<math>
  \mathcal{R}_x(\theta_x)=
  \begin{bmatrix}
    1 & 0 & 0 \\
    0 &  \cos{\theta_x} &  -\sin{\theta_x} \\
    0 &  \sin{\theta_x} & \cos{\theta_x}
  \end{bmatrix}
  =\exp \left(\theta_x
  \begin{bmatrix}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & -1 \\
    0 & 1 & 0
  \end{bmatrix}\right)
</math> 这里的 <math>\theta_x</math> 是 roll 角，和右手螺旋的方向相反（在yz平面顺时针）。

* 绕 ''y''-轴的主动旋转定义为:

:<math>
  \mathcal{R}_y(\theta_y)=
  \begin{bmatrix}
    \cos{\theta_y} & 0 & \sin{\theta_y} \\
    0 & 1 & 0 \\
     -\sin{\theta_y} & 0 & \cos{\theta_y}
  \end{bmatrix} 
  =\exp\left(\theta_y
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 & 1 \\
    0 & 1 & 0 \\
    -1 & 0 & 0
  \end{bmatrix}\right)
</math> 这里的 <math>\theta_y</math> 是 pitch 角，和右手螺旋的方向相反（在zx平面顺时针）。

* 绕 ''z''-轴的主动旋转定义为:

:<math>
  \mathcal{R}_z(\theta_z)=
  \begin{bmatrix} 
    \cos{\theta_z} &   -\sin{\theta_z} & 0 \\
    \sin{\theta_z} & \cos{\theta_z} & 0 \\
    0 & 0 & 1 
  \end{bmatrix}
  =\exp\left(\theta_z
  \begin{bmatrix} 
    0 & -1 & 0 \\
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 1 
  \end{bmatrix}\right)
</math> 这里的 <math>\theta_z</math> 是 yaw 角，和右手螺旋的方向相反（在xy平面顺时针）。

[[File:Flight dynamics with text.png|right|325px]]
在[[飞行动力学]]中，roll, pitch 和 yaw 角通常分别采用符号 <math>\gamma</math>, <math>\alpha</math>, 和 <math>\beta</math>；但是为了避免混淆于[[欧拉角]]这里使用符号 <math>\theta_x</math>, <math>\theta_y</math> 和 <math>\theta_z</math>。

任何 3 维旋转矩阵 <math>\mathcal{M}\in\mathbb{R}^{3\times 3}</math> 都可以用这三个角 <math>\theta_x</math>, <math>\theta_y</math>, 和 <math>\theta_z</math> 来刻画，并且可以表示为 roll, pitch 和 yaw 矩阵的乘积。

:<math>\mathcal{M}</math> 是在 <math> \mathbb{R}^{3\times 3}\,</math> 中的旋转矩阵 <math>\Leftrightarrow\,\exist\,\theta_x,\theta_y,\theta_z\in[0\ldots\pi):\,
\mathcal{M}=\mathcal{R}_z(\theta_z)\,\mathcal{R}_y(\theta_y)\,\mathcal{R}_x(\theta_x)</math>

在 <math>\mathbb{R}^3</math> 中所有旋转的集合，加上[[函数复合|复合]]运算形成了[[旋转群]] SO(3)。这里讨论的矩阵接着提供了这个群的[[群表示]]。更高维的情况可参见 [[Givens旋转]]。

=== 角-轴表示和四元数表示 ===
{{main|轴角|四元数和空间旋转}}

在三维中，旋转可以通过单一的旋转角 <math>\theta</math> 和所围绕的[[单位向量]]方向 <math>\hat{\mathbf{v}} = (x,y,z)</math> 来定义。

:<math> \mathcal{M}(\hat{\mathbf{v}},\theta) = \begin{bmatrix}
   \cos \theta + (1 - \cos \theta) x^2
 & (1 - \cos \theta) x y - (\sin \theta) z 
 & (1 - \cos \theta) x z + (\sin \theta) y  
\\
   (1 - \cos \theta) y x + (\sin \theta) z 
 & \cos \theta + (1 - \cos \theta) y^2
 & (1 - \cos \theta) y z - (\sin \theta) x
\\
   (1 - \cos \theta) z x - (\sin \theta) y
 & (1 - \cos \theta) z y + (\sin \theta) x
 & \cos \theta + (1 - \cos \theta) z^2 
\end{bmatrix} </math>

这个旋转可以简单的以生成元来表达:

:<math> \mathcal{M}(\hat{\mathbf{v}},\theta) 
 = \exp\left( \theta\begin{bmatrix}
         0   &  -z & y \\
   z &     0    &  -x  \\
    -y & x &      0    \\
\end{bmatrix}\right)
 </math>

在运算于向量 '''r''' 上的时候，这等价于[[Rodrigues旋转公式]]：

:<math>\mathcal{M} \cdot \mathbf{r} = \mathbf{r} \,\cos(\theta)+\hat{\mathbf{v}}\times \mathbf{r}\, \sin(\theta)+(\hat{\mathbf{v}}\cdot\mathbf{r})\hat{\mathbf{v}}(1-\cos(\theta))</math>

角-轴表示密切关联于[[四元数和空间旋转|四元数]]表示。依据轴和角，四元数可以给出为正规化四元数 ''Q'':

:<math>
Q=(xi+yj+zk)\sin(\theta/2)+\cos(\theta/2)\,
</math>

这里的 ''i'', ''j'' 和 ''k'' 是 ''Q'' 的三个虚部。

=== 欧拉角表示 ===
{{main|欧拉角}}
在三维空间中，旋转可以通过三个[[欧拉角]] <math>(\alpha,\beta,\gamma)</math> 来定义。有一些可能的欧拉角定义，每个都可以依据 roll, pitch 和 yaw 的复合来表达。依据 "x-y-z" 欧拉角，在右手[[笛卡尔坐标]]中的旋转矩阵可表达为:

:<math> \mathcal{M}(\alpha,\beta,\gamma)=\mathcal{R}_z(\gamma)\mathcal{R}_y(\beta) \mathcal{R}_x(\alpha)</math>

进行乘法运算生成:

:<math> 
\begin{align}
\mathcal{M}(\alpha,\beta,\gamma) &= 
		\begin{bmatrix}
			\cos \gamma & -\sin \gamma & 0 \\
			\sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\
			0 & 0 & 1 
			\end{bmatrix} 
		\begin{bmatrix}
				\cos \beta & 0 & \sin \beta \\
				0 & 1 & 0 \\
				-\sin \beta & 0 & \cos \beta 
				\end{bmatrix} 
		\begin{bmatrix}
			1 & 0 & 0 \\
			0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\
			0 & \sin \alpha & \cos \alpha 		
			\end{bmatrix}
		\\ 
		&=
			\begin{bmatrix}
				\cos \gamma \cos \beta & -\sin \gamma & \cos \gamma \sin \beta \\
				\sin \gamma \cos \beta & \cos \gamma & \sin \gamma \sin \beta \\
				-\sin \beta & 0 & \cos \beta 
			\end{bmatrix}
			\begin{bmatrix}
				1 & 0 & 0 \\
				0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\
				0 & \sin \alpha & \cos \alpha
			\end{bmatrix}
		\\
		&= 
			\begin{bmatrix}
				 \cos \gamma \cos \beta & -\sin \gamma \cos \alpha + \cos \gamma \sin \beta \sin \alpha & \sin \gamma \sin \alpha + \cos \gamma \sin \beta \cos \alpha \\
				\sin \gamma \cos \beta & \cos \gamma \cos \alpha + \sin \gamma \sin \beta \sin \alpha & -\cos \gamma \sin \alpha + \sin \gamma \sin \beta \cos \alpha \\
				-\sin \beta & \cos \beta \sin \alpha & \cos \beta \cos \alpha 
			\end{bmatrix}
\end{align}</math>

=== 对称保持 [[奇异值分解|SVD]] 表示 ===

对旋转轴 <math>q</math> 和旋转角 <math>\theta</math>，旋转矩阵
:<math> \mathcal{M} = qq^T+QGQ^T</math>
这里的 <math>Q=\begin{bmatrix}q_1, & q_2\end{bmatrix}</math> 的纵列张开正交于 <math>q</math> 的空间而 <math>G</math> 是 <math>\theta</math> 度 Givens 旋转，就是说
:<math> G = \begin{bmatrix}
\cos\theta & \sin\theta\\
-\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}</math>

==参见==
* [[坐标旋转]]
* [[旋转表示]]
* [[等距同构]]
* [[正交矩阵]]
* [[Rodrigues旋转公式]]
* [[旋转]]
* [[旋转群]]

==外部链接==
*[http://mathworld.wolfram.com/RotationMatrix.html Rotation matrices at Mathworld] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/RotationMatrix.html |date=20210118154423 }}

[[Category:矩阵|X]]