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|G1=物理學
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|T=zh-hant:旋轉群SO(3);zh-hans:旋转群SO(3)
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{{dablink|本條目介紹的是三維空間中的旋轉群SO(3)；關於更一般的SO(''n'')，參見[[特殊正交群]]。}}
在[[經典力學]]與[[幾何學]]裏，所有環繞著三維[[歐幾里得空間]]<math>\mathbb{R}^3</math>的[[原點]]的[[旋轉]]及旋轉的[[複合函數|複合]]組成的[[群]]稱為'''三維旋轉群'''<ref>Jacobson (2009), p. 34, Ex. 14.</ref>，有時會用'''[[特殊正交群|SO]](3)''' 來表示。

關於原點的旋轉是一個保持[[向量]][[長度]]，保持空間[[取向]]（遵守[[右手定則]]或'''左手定則'''）的[[線性映射|線性變換]]。兩個旋轉的[[複合函數|複合]]是一個新的旋轉。每一個旋轉都有一個獨特的[[逆元素|逆]]旋轉。<math>\mathbb{R}^3</math>上的[[恆等函數]]滿足旋轉的定義，可以作為群的[[單位元]]。旋轉的複合運算滿足[[結合律]]。由於符合上述四個要求，所有旋轉的集合是一個[[群]]。

每一個非平凡的旋轉可以由過原點的旋轉軸及旋轉角度給出。旋轉的複合不滿足[[交換律]]，因此三維旋轉群是[[非阿貝爾群]]。

更多地，旋轉群擁有一個天然的[[流形]]結構。對於這流形結構，旋轉群的運算是[[光滑函數|光滑]]的；所以，它是一個[[李群]]。

旋轉變換是從<math>\mathbb{R}^3</math>到<math>\mathbb{R}^3</math>的[[線性變換]]，因此選定<math>\mathbb{R}^3</math>的[[基_(線性代數)|基]]後，每一個旋轉都可以由一個3乘3的[[矩陣]]表示。特別地，如果選定的是<math>\mathbb{R}^3</math>上的一個[[標準正交基]]，那麼每一個旋轉都可以由一個[[行列式]]為1的3乘3的[[正交矩陣]]表示。所以SO(3)群可以由一個由行列式為1的正交矩陣及[[矩陣乘法]]組成的群表示。這些矩陣被稱為'''特殊'''（行列式為1）({{lang-en|special}})'''正交'''({{lang-en|orthgonal}}) 矩陣，這解釋了為甚麼我們用符號SO(3)來表示三維旋轉群。

== 長度與角度 ==
除了保持[[長度]]（保長），旋轉也保持向量間的[[角度]]（保角）。原因是兩向量'''u'''和'''v'''的[[內積]]可寫作：
:<math>\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = \tfrac{1}{2}\left(\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^2 - \|\mathbf{u}\|^2 - \|\mathbf{v}\|^2\right).</math>

'''R'''<sup>3</sup>中的保長轉換保持了[[标量 (数学)|純量]]內積值不變，也因此保持了向量間的角度。包括SO(3)在內的一般性情形，參見[[古典群]]。

== 正交矩陣與旋轉矩陣 ==
{{main|正交矩陣|旋轉矩陣}}
每一個旋轉會將一個<math>\mathbb{R}^3</math>的[[標準正交基]]映射到另一個標準正交基。作為[[向量空間的維數|有限維]]向量空間上的線性變換，旋轉變換可以由一個矩陣表示。令<math>R</math>為給定的一個旋轉。關於<math>\mathbb{R}^3</math>的[[標準基]]<math>e_1,e_2,e_3</math>，<math>R</math>的列為<math>(Re_1,Re_2,Re_3)</math>。由於標準基是標準正交的，<math>R</math>亦保持向量間的角度和向量長度，<math>R</math>的列將構成另一個標準正交基。標準正交的條件可以表示為

<math>R^TR = RR^T = I</math>

其中<math>R^T</math>為<math>R</math>的[[轉置矩陣|轉置]]，<math>I</math>為3乘3的[[單位矩陣]]。滿足此條件的矩陣稱為'''[[正交矩陣]]'''。所有3乘3的正交矩陣構成的群記作O(3)，包含了所有取向的旋轉。

除了保持長度不變，合適的旋轉保持空間取向不變。一個行列式為正值的矩陣將保持空間取向不變，反之，一個行列式為負值的矩陣將反轉空間取向。對於正交矩陣<math>R</math>，<math>\det R^T = \det R</math>暗示了<math>(\det R)^2 = 1</math>，因此<math>\det R = \pm 1</math>。行列式為1的正交矩陣組成的[[子群]]稱為'''特殊正交子群'''，記作SO(3)。

因此所有旋轉可以由一個具有單位行列式的正交矩陣唯一表示。更多地，因為旋轉的複合與矩陣乘法相對應，所以三維旋轉群與特殊正交群SO(3)[[同構]]。

[[瑕旋轉]]對應行列式為-1的正交矩陣，它們不構成一個群，因為兩個瑕旋轉的複合是一個正規旋轉（因為其行列式為1）。

== 群結構 ==


== 旋轉軸 ==
{{main|軸角}}
三維空間中非平凡的旋轉，皆繞著一個固定的「旋轉軸」，此旋轉軸是'''R'''<sup>3</sup>的特定一維[[線性子空間]]（參見：[[歐拉旋轉定理]]）。旋轉作用在與旋轉軸正交的二維平面，如同尋常的二維旋轉。既然二維旋轉皆可以旋轉角φ表示，則任意三維旋轉則可用旋轉軸搭配旋轉角來表示。

舉例來說，繞著正''z''軸旋轉φ角的逆時針旋轉為
:<math>R_z(\varphi) = \begin{bmatrix}\cos\varphi & -\sin\varphi & 0 \\ \sin\varphi & \cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}.</math>

給定'''R'''<sup>3</sup>中一[[單位向量]]'''n'''以及角度φ，設''R''(φ, '''n''')代表繞'''n'''軸作角度φ的逆時針旋轉，則：
* ''R''(0, '''n''')為相等轉換（identity transformation），'''n'''任意單位向量；
* ''R''(φ, '''n''') = ''R''(−φ, −'''n''')；
* ''R''(π + φ, '''n''') = ''R''(π − φ, −'''n''')。

利用這些特性，參數為旋轉角φ（範圍： 0 ≤ φ ≤ π）與單位向量'''n'''的任意旋轉有如下性質：
* 若φ = 0，'''n'''可為任意單位向量；
* 若0 < φ < π，'''n'''為特定單位向量；
* 若φ = π，'''n'''為彼此反向的兩特定單位向量；亦即，旋轉''R''(π, ±'''n''')是等價的。

== 有限子群 ==
SO(3)中只有很少的几个有限[[子群]]，且它们全部是熟悉的[[对称群]]，包括有：
* C<sub>k</sub>：绕一条直线转过角度2π/k的倍数的旋转的[[循环群]]
* D<sub>k</sub>：正k边形的[[二面体群]]
* T：将[[正四面体]]映为自身的十二个旋转[[四面體群]]
* O：[[立方体]]或[[正八面体]]旋转的24阶[[八面體群]]
* I：[[正十二面体]]或[[正二十面体]]的60个旋转的[[二十面體群]]

== 相關條目 ==
* [[旋轉]]
* [[正交群]]
* [[歐拉角]]
* [[定向纏結]]
* [[四元數與空間旋轉]]
* [[剛體]]
* [[球諧函數]]

== 詮釋 ==
{{reflist}}

== 參考文獻 ==
{{citation|last=Jacobson|first=Nathan | year=2009|title=Basic algebra|edition=2nd|volume=1|publisher=Dover Publications|isbn=978-0-486-47189-1}}

[[Category:李群]]
[[Category:旋轉對稱]]
[[Category:三维旋转]]
[[Category:立體幾何]]