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'''施瓦茨－米爾諾（Schwarz–Milnor或Švarc–Milnor<ref>Švarc是[[阿爾伯特·施瓦茨]]的[[俄文]]姓氏{{lang|ru|Шварц}}的[[俄語羅馬化|俄語拉丁轉寫]]。他移居[[美國]]後，使用他的姓氏的[[拉丁字母]]慣常寫法Schwarz。</ref>）引理'''，是[[數學]]上的一個結果，給出了[[群]]和在[[度量空間]]上的[[群作用]]的關係。[[阿爾伯特·施瓦茨]]首先發現這個結果，十數年後[[約翰·米爾諾]]重新發現。這條引理有時稱為[[幾何群論]]基本定理。<ref>[http://arxiv.org/abs/math/0106190 Benson Farb, Lee Mosher,Convex cocompact subgroups of mapping class groups]</ref>有了這條引理，就可以由度量空間的幾何性質，來研究群的性質。

==定義==
設''X''為一個[[度量空間]]。如果''X''每兩點都有[[測地線]]相連，就稱''X''為'''測地'''的。

如果''X''中每一個[[閉集|閉]][[球 (數學)|球]]都是[[緊緻集]]，就稱''X''為'''常態'''的。考慮''X''中從某點<math>x'</math>量度距離的函數<math>d_{x'}:X\to [0,\infty)</math>
::<math>d_{x'}(x):=d_X(x,x')</math>
那麼閉球<math>\overline{B(x',a)}</math>是緊緻[[區間]][0,a]在<math>d_{x'}</math>下的[[原像]]。因此，閉球都是緊緻集這個條件，便等價於所有形如<math>d_{x'}</math>的距離函數都是[[常態映射]]。這就是稱度量空間''X''為常態的原因。

一個群''G''在''X''上的群作用稱為'''真不連續'''的，如果對每個緊緻集<math>K\subset X</math>，''G''中只有有限個元素''g''，使得<math>g\cdot K \cap K \neq \varnothing</math>。這個群作用稱為'''餘緊'''的，如果存在一個緊緻集<math>K'\subset X</math>，使得<math>G\cdot K'= X</math>。

==引理敘述==
設''X''為一個常態測地度量空間。如果一個群''G''以[[等距同構|等距映射]]真不連續地、餘緊地作用在''X''上，那麼''G''是[[有限生成群]]。而且''G''中用一個有限[[生成集合]]''S''賦予''G''以[[字度量]]後，和''X''[[擬等距同構]]；對於''X''的任何一點<math>x_0</math>，映射<math>g \mapsto g\cdot x_0</math>都是從''G''到''X''的擬等距映射。

==證明==
''G''中任何有限生成集合所對應的字度量，都是擬等距同構。故此只需找到一個有限生成集合''S''，證明在''G''上取對應''S''的字度量後，和''X''是擬等距同構即可。

選定<math>x_0\in X</math>。因為群作用是餘緊的，存在<math>r > 0</math>，使得<math>B(x_0,r)</math>在''G''的作用下覆蓋''X''。

取''G''的一個子集
::<math>S=\{g\in G\setminus\{e\} | d_X(x_0, g\cdot x_0) < 2r+1 \}</math>
''G''的元素''g''若在子集''S''內，則有
::<math>g\cdot \overline{B(x_0,r+1/2)}\cap \overline{B(x_0,r+1/2)} \neq \varnothing</math>
''X''是常態度量空間，故<math>\overline{B(x_0,r+1/2)}</math>是緊緻集，又因群作用是真不連續的，所以這樣的''g''僅有有限個。因此''S''是有限集。

對''G''中任何非平凡元素''g''，有一條測地線段連接兩點<math>x_0</math>和<math>g\cdot x_0</math>。設''k''為整數，符合
::<math>k \leq d_X(x_0,g\cdot x_0)<k+1</math>
在這條測地線段上取點<math>x_j</math>，''j''=1,..., ''k''+1，滿足<math>d_X(x_{j-1},x_j)\leq 1</math>。

對每一點<math>x_j</math>，都存在''G''中的元素<math>g_j</math>，使得<math>x_j\in g_j \cdot B(x_0,r)</math>。可指定<math>g_0=e</math>, <math>g_{k+1}=g</math>。如果<math>g_{j-1} \neq g_j</math>，則有<math>g_{j-1}^{-1}g_j \in S</math>，因為
::<math>\begin{align}
& d_X(x_0,g_{j-1}^{-1}g_j \cdot x_0) \\
=& d_X(g_{j-1} \cdot x_0,g_j \cdot x_0) \\
\leq & d_X(g_{j-1} \cdot x_0, x_{j-1})+d_X(x_{j-1},x_j)+d_X(x_j, g_j \cdot x_0) \\
< & r + 1 + r = 2r+1
\end{align}</math>
由此得出''g''是由最多''k''+1個''S''的元素的積。因此''S''是''G''的生成集合，而且對所有''g''都有
::<math>d_S(e,g) \leq d_X(x_0,g\cdot x_0)+1</math>

取<math>c=\max_{s\in S} d_X(x_0,s\cdot x_0)</math>，用[[三角不等式]]得出
::<math>d_X(x_0,g\cdot x_0)\leq c\ d_S(e,g)</math>

對任何<math>g,h\in G</math>，有
::<math>d_X(g\cdot x_0, h\cdot x_0)=d_X(x_0,g^{-1}h\cdot x_0)</math>
::<math>
d_S(g, h)=d_S(e,g^{-1}h)</math>
故此從以上兩條不等式可以得出
::<math>d_S(g,h)-1\leq d_X(g\cdot x_0,h\cdot x_0)\leq c\  d_S(g,h)</math>
而且''X''中每一點''x''都距離某個<math>g\cdot x_0</math>不超過''r''，所以<math>g\mapsto g\cdot x_0</math>是擬等距映射，''G''和''X''是擬等距同構。

==註釋和參考==
{{reflist}}

[[Category:度量幾何]]
[[Category:幾何群論]]